СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ

СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ
свойство кристаллов совмещаться с собой в различных положениях путём поворотов,
отражений, параллельных переносов либо части или комбинации этих операций.
Симметрия внеш. формы (огранки) кристалла определяется симметрией его атомного
строения, к-рая обусловливает также и симметрию физ. свойств кристалла.

На рис. 1, а изображён
кристалл кварца. Внешняя его форма такова, что поворотом на 120°
вокруг оси 3 он может быть совмещён сам с собой (совместимое равенств о).
Кристалл метасиликата натрия (рис. 1, 6) преобразуется в себя отражением
в плоскости симметрии т (зеркальное равенство). Т. о., симметрия
означает возможность преобразования объекта совмещающего его с собой.

Рис. 1. а - кристалл кварца:
3 - ось симметрии 3-го порядка, 2x,2y,2w - оси 2-го порядка; 6
-
кристалл водного ме-тасиликата натрия: т - плоскость симметрии.

Если F (xфункция,
описывающая объект, напр. форму кристалла в трёхмерном пространстве или
к.-л. его свойство, а операция q[xосуществляет
преобразование координат всех точек объекта, то q является операцией
или преобразованием симметрии, a F - симметричным объектом, если
выполняются условия:

q [x]
= x'(1,a)

F(x= F(x'(1,б)

В наиболее общей формулировке
симметрия - неизменность (инвариантность) объектов при нек-рых преобразованиях
описывающих их переменных. Кристаллы - объекты в трёхмерном пространстве,
поэтому классич. теория С. к.-теория симметрич. преобразований в себя трёхмерного
пространства с учётом того, что внутр. атомная структура кристаллов - трёхмерно-периодическая,
т. е. описывается как кристаллическая решётка. При преобразованиях
симметрии пространство не деформируется, а преобразуется как жёсткое целое
(ортогональное, или изометрическое, преобразование). После преобразования
симметрии части объекта, находившиеся в одном месте, совпадают с
частями, находящимися в др. месте. Это означает, что в симметричном объекте
есть равные части (совместимые или зеркальные).

С. к. проявляется не только
в их структуре и свойствах в реальном трёхмерном пространстве, но также
и при описании энергетич. спектра электронов кристалла в импульсном пространстве
(см. Твёрдое тело), при анализе процессов дифракции рентгеновских
лучей в кристаллах с помощью пространства обратных длин и т. п.

Группа симметрии кристаллов.
Кристаллу может быть присуща не одна, а неск. операций симметрии. Так,
кристалл кварца (рис. 1, а) совмещается с собой не только при повороте
на 120° вокруг оси 3 (операция qно и при повороте
вокруг оси 3 на 240° (операция qа также при поворотах
на 180* вокруг осей 2х, 2у, 2w (операции qи
q).
Каждой
операции симметрии может быть сопоставлен геометрич. образ - элемент симметрии
- прямая, плоскость или точка, относительно к-рой производится данная операция.
Напр., ось 3 или оси 2х, 2у, 2w
являются осями симметрии, плоскость
m (рис. 1, 6) - плоскостью зеркальной симметрии и т. п. Совокупность
операций симметрии
[qданного кристалла
образует группу симметрии G в смысле математич. теории
групп. Последоват.
проведение двух операций симметрии также является операцией симметрии.
Всегда существует операция идентичности qничего не
изменяющая в кристалле, наз. отождествлением, геометрически соответствующая
неподвижности объекта или повороту его на 360° вокруг любой оси. Число
операций, образующих группу G, наз. порядком группы.

Группы симметрии классифицируют:
по числу п измерений пространства, в к-рых они определены; по числу
т
измерений
пространства, в к-рых объект периодичен (их соответственно обозначают Cⁿи по нек-рым др. признакам. Для описания кристаллов используют различные
группы симметрии, из к-рых важнейшими являются
пространственные группы
симметрии
G3, описывающие атомную структуру кристаллов, и
точечные
группы симметрии G3, описывающие их внеш. форму.
Последние наз. также кристаллографич. классами.

Симметрия огранки кристаллов.
Операциями точечной симметрии являются: повороты вокруг оси симметрии порядка
N
на
360°/N
(рис.
2, а), отражение в плоскости симметрии (зеркальное отражение, рис.
2, б), инверсия I (симметрия относительно точки, рис. 2, в),
инверсионные
повороты N (комбинация поворота на 360°/N с одновременной
инверсией, рис. 2, г). Вместо инверсионных поворотов иногда рассматривают
зеркальные повороты N. Геометрически возможные сочетания этих операций
определяют ту или иную точечную группу (рис. 3), к-рые изображаются обычно
в стереографич. проекции. При преобразованиях точечной симметрии по крайней
мере одна точка объекта остаётся неподвижной - преобразуется сама в себя.
В ней пересекаются все элементы симметрии, и она является центром стереографич.
проекции.

Рис. 2. Простейшие операции
симметрии: а - поворот: б - отражение: в - инверсия;
г
- скользящее отражение; д -винтовой поворот 4-го порядка.

Рис. 3. Примеры кристаллов,
принадле-" жащих к разным точечным группам или кристаллографическим классам:
а
-к классу m (одна плоскость симметрии); б - к классу с
(один
центр симметрии); в - к классу 2 (одна ось симметрии 2-го порядка);
г - к классу 6 (одна зеркальная ось 6-го порядка).

Точечные преобразования симметрии
q[x= x'описываются линейными
уравнениями:

т. е. матрицей коэфф. (аНапр.,
при повороте вокруг хна угол а = 360°/N матрица коэфф.
имеет вид:

а при отражении в плоскости
xxимеет вид:

Поскольку N может
быть любым, число групп G³кристаллах ввиду наличия кристаллич. решётки возможны только операции и
соответственно оси симметрии до 6-го порядка (кроме 5-го), к-рые обозначаются
символами: /, 2, 3, 4, 6, а также инверсионные оси: I (она же центр
симметрии), 2 = т (она же плоскость симметрии), 3, 4, 6. Поэтому
количество точечных кристаллографич. групп, описывающих внеш. форму кристаллов,
ограничено. Эти 32 группы С. к. приведены в таблице. В междунар. обозначения
точечных групп входят символы основных (порождающих) элементов симметрии,
им присущих. Эти группы объединяются по симметрии формы элементарной ячейки
(с периодами а, b, с и углами
аальфа), В(бетта), у(гамма))
в 7 сингоний кристаллографических - триклинную, моноклинную, ромбическую,
тетрагональную, тригональную, гексагональную и кубическую. Принадлежность
кристалла к той или иной группе определяется гониометрически (см. Гониометр)
или
рентгенографически (см. Рентгеновский структурный анализ).

Группы, содержащие лишь повороты,
описывают кристаллы, состоящие только из совместимо равных частей. Эти
группы наз. группами 1-го рода. Группы, содержащие отражения, или инверсионные
повороты, описывают кристаллы, в к-рых есть зеркально равные части (но
могут быть и совместимо равные части). Эти группы наз. группами 2-го рода.
Кристаллы, описываемые группами 1-го рода, могут кристаллизоваться в двух
энантио-морфных формах, условно наз. "правой" и ''левой", каждая из них
не содержит элементов симметрии 2-го рода, но они зеркально равны друг
другу (см. Энантиоморфизм, Кварц).

Точечные группы описывают
симметрию не только кристаллов, но любых конечных фигур. В живой природе
часто наблюдается запрещённая в кристаллографии симметрия с осями 5-го,
7-го порядка и выше. Напр., для описания регулярной структуры сферич. вирусов
(рис.
4), в оболочках которых соблюдаются кристаллографические принципы плотной
укладки молекул, оказалась важной икосаэдрическая точечная группа 532.

Рис. 4. а - сферический вирус
(электронномикроскопический снимок, увеличено в 160 000 раз); б - его
модель.



Симметрия физических свойств.
Предельные группы. В отношении макроскопич. физ. свойств (оптических,
электрических, механических и др.), кристаллы ведут себя как однородная
анизотропная среда, т. е. дискретность их атомной структуры не проявляется.
Однородность означает, что свойства одинаковы в любой точке кристалла,
однако при этом многие свойства зависят от направления (см. Анизотропия).
Зависимость
от направления можно представить в виде функции и построить указательную
поверхность данного свойства (рис. 5, см. также ст. Кристаллооптика).
Эта
функция, которая может быть различной для разных физических свойств кристалла
(векторной или тензорной) имеет определённую точечную симметрию, однозначно
связанную с группой симметрии огранения кристалла.

Обозначения и названня 32
групп точечной симметрии