СИМПЛЕКС

СИМПЛЕКС (от лат.
simplex - простой) (матем.), простейший выпуклый многогранник данного числа
измерений п. При n = 3 трёхмерный С. представляет собой произвольный,
в т. ч. неправильный, тетраэдр. Под двумерным С. понимают произвольный
треугольник, а под одномерным - отрезок. Нульмерный С. есть просто одна
точка. n-мерный С. имеет п + 1 вершин, не принадлежащих ни к какому
(п
- 1)-мерному подпространству того евклидова пространства (с числом
измерений п или больше), в к-ром лежит данный С. Обратно, всякие
п + 1 точек евклидова n-мерного пространства R^m, т >= п,
не
лежащие ни в каком подпространстве менее п измерений, однозначно
определяют и-мерный С. с вершинами в заданных точках ее, ..., еон может быть определён как
выпуклое замыкание совокупности заданных п + 1 точек, т. е. как
пересечение всех выпуклых тел пространства R^m, содержащих
эти точки. Если в пространстве R^m дана система декартовых
координат x..., хв
к-рой вершина eО, 1, ..., п, имеет координаты
x⁽ⁱ⁾x⁽ⁱ⁾(i)m, то С. с вершинами еeсостоит из всех точек пространства,
координаты к-рых имеют вид:

извольные неотрицательные
числа, дающие в сумме 1. По аналогии со случаем п<=З можно сказать,
что все точки С. с данными вершинами получаются, если в эти вершины поместить
произвольные неотрицательные массы (из к-рых по крайней мере одна отлична
от нуля) и взять центр тяжести этих масс (дополнительное требование, чтобы
сумма всех масс равнялась 1, исключает лишь случай, когда все массы - нулевые).

Любые r + 1 вершин,
0<=r<=п
-
1, взятые из числа данных п + 1 вершин n-мерного С., определяют
нек-рый r-мер-ный С.- r-мерную грань данного С. Нульмерные грани С. суть
его вершины, одномерные грани наз. рёбрами.

Лит.: Александров
П. С., Комбинаторная топология, М.- Л., 1947; П о н т р я г и н Л. С.,
Основы комбинаторной топологии, М.-Л., 1947, с. 23-31.