СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ интегральные уравнения с ядрами, обращающимися в
бесконечность в области интегрирования так, что соответствующий несобственный
интеграл,
содержащий неизвестную функцию, расходится и заменяется своим главным значением
по Коши. Примером С. и. у. может служить следующее уравнение ст. н. ядром
Гильберта:

решением к-рого является
функция

где первый интеграл также
понимается в смысле главного значения по Коши. Хорошо изученным общим классом
С. и. у. являются уравнения с ядром Коши вида:

где a(t), b(t), f(t)
- заданные непрерывные функции точки t пути интегрирования L
(к-рый
может состоять из конечного числа гладких самонепересекающихся замкнутых
или незамкнутых кривых с непрерывной кривизной) в комплексной плоскости;
сингулярный интеграл

понимается как предел при
е(эпсилон)->0
интеграла Iф(фи) по пути Lк-рый
получается из L после удаления симметричной относительно точки
t
дуги длины 2е. Ядро K(t, z) предполагается принадлежащим
к одному из тех классов, к-рые рассматриваются в теории несингулярных интегральных
уравнений. К С. и. у. вида (*) приводят многие задачи теории ана-литич.
функций, теории упругости, гидродинамики и др.

Исследование С. и. у. (*)
опирается на свойства сингулярного интеграла Iф(фи), к-рые зависят
от предположений, делаемых относительно ф. Подробно С. и. у. исследованы
в пространстве непрерывных функций ф и в пространстве функций, интегрируемых
с квадратом. Основное свойство сингулярного интеграла Iф(фи) выражается
равенством I²ф == I(Iф) = ф, справедливым для
широкого класса функций.

Многие результаты теории
С. и. у. почти без изменений переносятся на системы С. и. у., к-рые можно
записать в виде (*), если под а и b понимать матричные функции,
а под f и ф - векторы (одноколонные матрицы). Теория обобщается
также на случай системы С. и. у. с разрывными коэффициентами и кусочно
гладким путём интегрирования. Изучены также нек-рые классы С. и. у. в многомерных
областях.

С. и. у. впервые (нач. 20
в.) встретились в исследованиях А. Пуанкаре (по теории приливов)
и Д. Гильберта (по краевым задачам). Ряд важных свойств С. и. у.
установил нем. математик Ф. Нётер. Для разработки теории С. и. у. важное
значение имели работы Т. Карлемана и И. И. Привалова. Наиболее
полные результаты получены сов. учёными (Н. И. Мусхелишвили, И.
Н. Векуа, В. Д. Купрадзе и др.).

Лит.: Мусхелишвили
Н. И., Сингулярные интегральные уравнения. Граничные задачи теории функций
и некоторые их приложения к математической физике, 3 изд., М., 1968; Векуа
Н. П., Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные
задачи, 2 изд., М., 1970.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я