СИНУСОИДАЛЬНЫЕ СПИРАЛИ

СИНУСОИДАЛЬНЫЕ СПИРАЛИ синус-спирали,
кривые, уравнения к-рых в полярной системе координат имеют вид

где п - рациональное
число. Частными случаями С. с. являются окружность, прямая, равнобочная
гипербола, лемниската, кардиоида, парабола (см. Линия) (соответственно
при п = 1, -1, -2, 2, 1/2 , -1/2). Логарифмическую спираль
можно рассматривать как нек-рый предельный случай С. с. при п = 0
[хотя уравнение (*) теряет при этом смысл], разделяющей С. с., лежащие
в конечной части плоскости, от С. с., имеющих бесконечные ветви. Проекция
центра кривизны любой точки С. с. на радиус-вектор этой точки делит его
в отношении п : 1 (считая от полюса). При равномерном вращении радиус-вектора
С. с. вокруг полюса касательная равномерно вращается вокруг точки касания.
Поэтому С. с. наз. также кривыми пропорционального изгиба. При натуральном
и С. с. состоит из п лепестков, лежащих в углах

касаясь в начале координат
сторон угла. Углы

не содержат точек С. с.,
отличных от начала координат. Если вписать в круг радиуса а •2-¹1п
правильный
n-угольник P, Pто
множество точек, произведение расстояний к-рых до точек PРn/2, является С. с.
Площадь одного лепестка С. с. равна

где Г(х) - гамма-функция.
При
натуральном п С. с. имеет п осей симметрии. Если
п = 1/q,
то
кривая симметрична относительно полярной оси, причём каждая из половин
кривой имеет вид спирали, начинающейся в точке r =
а, ф =
п/2

и после оборота на угол qп/2
приходящей
в полюс. С. с. при п = p/q является алгебраической кривой (см. Алгебраическая
геометрия), обладающей р осями симметрии, наклонёнными к вертикальной
оси под углами 2пqk/p,
0 <=k<p. Изучение С.
с. с отрицательными значениями п
сводится к изучению С. с. с положительными
п
при
помощи преобразования инверсии. С. с. применяются в нек-рых вопросах механики,
геодезии и др.