СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ векторов
а и 6, скаляр, равный произведению длин этих векторов и косинуса
угла между ними; обозначается (а, b) (или аb). Напр., работа
постоянной силы F вдоль прямолинейного пути S равна (F, S). Свойства С.
п.: 1) (а, b) = (b, а), 2) (аа, b) = а(а, b)
(а
- скаляр),

(a, b) = 0, то либо
а
= 0, либо b = 0, либо a l b<. Если
а
= (аb = (bто
(а, b) = a+
а(в прямоугольных декартовых координатах). Понятие "С. п." обобщают
на n-мерные векторные пространства,
где равенство

принимают за определение
С. п. и с помощью так определённого С. п. вводят геометрич. понятия длины
вектора, угла между векторами и т. д. Бесконечномерное линейное пространство,
в
к-ром определено С. п. и выполнена аксиома полноты относительно нормы

см. Полное пространство),
называют
гильбертовым
пространством. Гильбертовы пространства играют важную роль в функциональном
анализе и квантовой механике. Для векторных пространств над полем комплексных
чисел условие 1) заменяют условием (а, b) = (b, а) и С. п.
определяют как

Векторы a и b
можно рассматривать как кватернионы a+
аи bТогда
их С. п. равно взятой с обратным знаком скалярной части произведения этих
кватернионов (а векторное произведение - векторной части).