СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРОГНОЗИРОВАНИЕ

СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРОГНОЗИРОВАНИЕ (экстраполирование),
предсказание значения случайного процесса в нек-рый будущий момент
времени по наблюдённым значениям этого процесса (или, более общо, к.-л.
статистически с ним связанного процесса - напр. суммы прогнозируемого процесса
с искажающими наблюдения случайными помехами, т. е. с "шумом") в прошлом
и настоящем. Практически во всех представляющих интерес ситуациях предсказываемое
значение процесса X(t) в момент
t = tбыть точно определено по имеющимся данным наблюдений и можно лишь добиваться,
чтобы случайная ошибка прогноза А = X(t[где
X-
предсказанное значение X(t)] в среднем была бы по возможности
наименьшей. В теории С. п. п. оптимальным (наилучшим) обычно считается
прогноз, для к-рого минимально матем. ожидание квадрата ошибки А;
такой оптимальный прогноз совпадает с условным матем. ожиданием случайной
величины X(tпри условии, что наблюдаемые величины,
по к-рым строится прогноз, принимают фиксированные (известные из наблюдений)
значения.

Большое место в теории С.
п. п. занимает теория оптимального линейного С. п. п., посвящённая методам
нахождения линейной функции от данных наблюдений такой, что для неё средний
квадрат её отклонения от X(tменьше, чем для всех других
линейных функций; в ряде практически важных случаев такое оптимальное линейное
С. п. п. совпадает с общим оптимальным С. п. п.

Общая теория оптимального
линейного С. п. п. для стационарных случайных процессов была разработана
А. Н. Колмогоровым и Н. Винером. Большое развитие получила
также теория оптималь ного (и линейного, и общего нелинейного) прогнозирования
процессов, являющихся компонентами марковских случайных процессов.

Лит.: Колмогоров А.
Н., Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей,
"Изв. АН СССР. Сер. математическая", 1941, т. 5, № 1; Дуб Дж., Вероятностные
процессы, пер. с англ., М., 1956; Розанов Ю. А., Стационарные случайные
процессы, М., 1963; Л и п ц е р Р. Ш., Ширяев А. Н., Статистика случайных
процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы, М., 1974; Бокс Дж.,
Дженкинс Г., Анализ временных рядов. Прогноз и управление, пер. с англ.,
в. 1 - 2, М., 1974; W i е п е г N., Extrapolation, interpolation and smoothing
of stationary time series, N. Y., 1949.

А. М. Яглом.