СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ
функции,
разложение функции в ряд по собственным функциям некоторого
линейного
оператора
(напр., конечно-разностного, дифференциального или интегрального),
действующего в функциональном пространстве, или одно из возможных обобщений
такого разложения. Частным случаем С. р. является разложение функции, заданной
на конечном отрезке, в Фурье ряд (т. е. гармонич. анализ колебаний),
а также разложения по другим известным
полным системам функций. В
случае линейного оператора А, имеющего непрерывный спектр, собственные
функции, понимаемые в обычном смысле, не существуют; тем не менее и здесь
весьма часто удаётся определить эти функции (но только они уже не будут
являться элементами того функционального пространства, в к-ром действует
оператор Л) и задать С. р. широкого класса функций как разложение в интеграл
по системе функций, зависящей от непрерывно изменяющегося аргумента (пример
С. р. этого типа - разложение в Фурье интеграл). Для несамосопряжённых
операторов А наряду с собственными функциями приходится рассматривать
ещё и цепочки функций, присоединённых к собственным функциям; однако и
для таких операторов в функциональных пространствах во многих случаях удаётся
доказать теорему о полноте системы всех собственных и присоединённых функций
и, исходя отсюда, получить С. р. широкого класса функций по всевозможным
собственным и присоединённым функциям оператора А.
С. р. функций широко используются для решения
различных конечно-разностных, дифференциальных и интегральных уравнений
и находят многочисленные приложения в задачах классической механики (особенно
теории колебаний), электродинамики, квантовой механики, теории связи, теории
автоматического управления и других разделах математической физики и прикладной
математики.
Лит.: Березанский Ю. M., Разложение
по собственным функциям самосопряженных операторов, К., 1965; Титчмарш
Э. Ч., Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными
уравнениями второго порядка, пер. с англ., т. 1 - 2, M., 1960 - 61; H а
и м а р к M. А., Линейные дифференциальные операторы, 2 изд., M., 1969;
Л е в и т а н Б. M., С а р ГОН н И. С., Введение в спектральную теорию
(самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы), M., 1970.
A. M. Яглом.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я