Главная > База знаний > Большая советская энциклопедия > СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ линейных операторов,
обобщение выросшей из задач механики теории собственных значений и
собственных
векторов матриц (т е линейных преобразований в конечномерном пространстве)
на бесконечномерный случай (см Линейный оператор, Операторов теория)
В
теории колебаний изучается движение системы с $\eta$ степенями
свободы в окрестности положения устойчивого равновесия, к-рое описывается
системой линейных дифференциальных уравнений вида x + Ax = = О,
где x есть га мерный вектор отклонений обобщенных координат системы
от их равновесных значений, а A - симметрическая положительно определенная
матрица. Такое движение может быть представлено в виде наложения $\eta$ гармонических
колебаний (т. н нормальных колебаний) с круговыми частотами, равными корням
квадратным из всевозможных собственных значений $\lambda$ матрицы А Нахождение нормальных колебаний системы здесь сводится
к нахождению всех собственных значений $\lambda$ и собственных векторов xзначений матрицы называют ее спектром Если матрица А - симметрическая,
то ее спектр состоит из n действительных чисел $\lambda$ $\iota$ ,
. , $\lambda$ (нек рые из них могут совпадать друг с другом), а сама матрица с помощью
перехода к новой системе координат может быть приведена к диагональному
виду, т е. отвечающее ей линейное преобразование Л в п-мерном пространстве
(т. н самосопряженное преобразование) допускает специальное представление
- т. н спектральное разложение вида

где EE- операторы проектирования на взаимно перпендикулярные направления
собственных векторов x, .. . , xНесимметрическая
же матрица A (к рой отвечает несамосопряженное линейное преобразование)
имеет, вообще говоря, спектр, состоящий из комплексных чисел $\lambda$ ., $\lambda$ и может быть преобразована лишь к более сложной, чем диагональная, жордановой
форме [см. Нормальная (жорданова) форма матриц], отвечающей представлению
линейного преобразования А, более сложному, чем описанное выше обычное
спектральное разложение.

При изучении колебаний около состояния
равновесия систем с бесконечным числом степеней свободы (напр , однородной
или неоднородной струны) задачу о нахождении собственных значений и собственных
векторов линейного преобразования в конечномерном пространстве приходится
распространить на нек рый класс линейных преобразований (т. е линейных
операторов) в бесконечно-

мерном линейном пространстве Во многих
случаях (включая, в частности, и случай колебания струны) соответствующий
оператор может быть записан в виде действующего в пространстве функций
f(x)
интегрального
оператора А, так что здесь

Af = инт.^bK(x,
y)f(y)dy,

где K(x, у) - заданная на квадрате
а<=х,
у <= b непрерывная функция двух переменных, удовлетворяющая
условию симметрии K(x, у) = К(у, х) В этих случаях оператор А
всегда
имеет полную систему попарно ортогональных собственных функций $\varphi$ ,
к
рым отвечает счет ная последовательность действительных собственных значений $\lambda$ составляющих в своей совокупности спектр оператора А Если рассматривать
функции, на к-рые действует оператор А, как векторы гильбертова
пространства, то действие А будет, как и в случае конечномерного
самосопряженного преобразования, сводиться к растяжению пространства вдоль
системы взаимно ортогональных осей $\varphi$ с коэффициентами растяжения $\lambda$ (при $\lambda$ < О такое растяжение имеет смысл растяжения с коэффициентом | $\lambda$ объединенного с зеркальным отражением), а сам оператор А здесь снова
будет иметь спектральное разложение вида

где Eоператоры проектирования
на направления $\varphi$

С а , развитый первоначально для интегральных
операторов с симметричным ядром K(x, у), определенным и непрерывным
в нек рой ограниченной области, был затем в рамках общей теории операторов
распространен на многие другие типы линейных операторов (напр , на интегральные
операторы с ядром, имеющим особенность или заданным в неогранич области,
дифференциальные операторы в пространствах функций одного или неск переменных
и т д ), а также на абстрактно заданные линейные операторы в бесконечномерных
линейных пространствах Оказалось, однако, что такое распространение связано
с существенным усложнением С. а , так как для многих линейных операторов
собственные значения и собственные функции, понимаемые в обычном смысле,
вообще не существуют Поэтому в общем случае спектр приходится определять
не как со вокупность собственных значений оператора Л, а как совокупность
тех значений $\lambda$ ,
для к-рых оператор (A - $\lambda$ E)^-1,
где E - тождественный (единичный) оператор, не существует, или определен
лишь на неплотном множестве, или является неограниченным оператором Все
собственные значения оператора принадлежат его спектру и в совокупности
образуют его дискретный спектр, остальную часть спектра часто называют
непрерывным спектром оператора [иногда же непрерывным спектром называют
лишь совокупность тех $\lambda$ ,
при к рых оператор (A - $\lambda$ E)-'
определен на плотном множестве элементов пространства, но неограничен,
а все точки спектра, не входящие ни в дискретный, ни в непрерывный спектр,
называют остаточным спектром]

Наиболее разработан С. а самосопряженных
линейных операторов в гильбертовом пространстве (обобщающих симметрические
матрицы) и унитарных линейных операторов в том же пространстве (обобщающих
унитарные матрицы) Caмосопряженный оператор А
в гильбертовом пространстве
всегда имеет чисто действительный спектр (дискретный, непрерывный или смешанный)
и допускает спектральное разложение вида

А=инт от - беск до +беск. $\lambda$ dE( $\lambda$ ),
(*)

где E( $\lambda$ )
- т н разложение единицы (отвечающее оператору А), т е. семейство проекционные
операторов, удовлетворяющее специальным условиям Точками спектра в
данном случае являются точки роста операторной функции E( $\lambda$ );
в случае чисто дискретного спектра все они являются скачками E( $\lambda$ ),
так что здесь

и спектральное разложение (*) сводится
к разложению

Унитарный оператор в гильбертовом пространстве
имеет спектр, расположенный на окружности | $\lambda$ |
= 1, и допускает спектральное разюжение родственного (*) вида, но с заменой
интегрирования от -беск. до +беск. интегрированием по этой окружности Изучен
также специальный класс нормальных операторов в гильбертовом пространстве,
представимых в аналогичном представлению (*) виде, но где уже интегрирование
в правой части распространено на более общее множество точек $\lambda$
комплексной плоскости, представляющее собой спектр А Что касается С а несамосопряженных
и не являющихся нормальными линейных операторов, обобщающих произвольные
несимметрические матрицы, то ему были посвящены многочисленные работы Дж
Биркгофа (США), T Карлемана (Швеция), M В Келдыша, M Г Крейна (СССР), Б
Секефальви Надя (Венгрия), H Данфорда (США) и многих др ученых, но тем
не менее соответствующая теория еще далека от полной завершенности

С а линейных операторов имеет целый ряд
важных применений в классической механике (особенно теории колебаний),
электродинамике, квантовой механике, теории случайных процессов, дифференциальных
и интегральных уравнений и др. областях математики и матем физики

Лит Курант P, Гильберт Д, Методы
математической физики пер с нем , 3 изд ,т 1, M - Л , 1951, АхпезерН И,
Глазман И M, Теория линейных операторов в гичьбертовом пространстве, 2
пзд , M , 1966. ПлеснерА И, Спектральная теория линейных операторов, M
, 1965, Рисе Ф, Секефальви -Надь Б, Лекции по функциональному анализу,
пер. с франц , M , 1954, Секефальви-Надь Б.ФояшЧ, Гармонический анализ
операторов в гильбертовом пространстве, пер с франц , M , 1970, Данфорд
H, Шварц Дж T, Линейные операторы, пер с анп , ч 2 - 3, M , 1966 - 74 Келдыш
M В, Л П деки и В Б, Вопросы спектральной теории несамосопряженных операторов,
в KH Tp 4 го Всесоюзного математического съезда, т 1, Л , 1963, с 101 -
20.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я