Главная > База знаний > Большая советская энциклопедия > СПИНОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

СПИНОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

СПИНОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ математическая
теория, изучающая величины особого рода - спиноры.
При изучении
физ. величин их относят обычно к той или иной системе координат. В зависимости
от закона преобразования этих величин при переходе от одной системы координат
к другой различают величины различных типов
(тензоры, псевдотензоры).
При изучении явления спина электрона было обнаружено, что существуют
физ. величины, не принадлежащие к ранее известным типам (напр., эти величины
могут быть определены лишь с точностью до знака, т. к. при повороте системы
координат на 2л вокруг нек-рой оси все компоненты этих величин меняют знак).
Такие величины были рассмотрены ещё в 1913 Э. Картоном в его исследованиях
по теории представлений групп и вновь открыты в 1929 Б. Л. Варденом
в
связи с исследованиями по квантовой механике. Он назвал эти величины спинорами.

Спиноры первой валентности задаются двумя
комплексными числами ( $\xi$ ¹, $\xi$ ²
), причём в отличие, напр., от тензоров, для к-рых различные совокупности
чисел задают различные тензоры, для спиноров считают, что совокупности
( $\xi$ ¹, $\xi$ ²)
и (- $\xi$ ¹, - $\xi$ ²)
определяют один и тот же спинор. Это объясняется законом преобразования
спиноров при переходе от одной системы координат к другой. При повороте
системы координат на угол $\theta$
вокруг оси с направляющими косинусами cos xcos x

В частности, при повороте системы координат
на угол 2л, возвращающем её в исходное положение, компоненты спинора
меняют знак, что объясняет тождественность спиноров ( $\xi$ ¹, $\xi$ ²)
и (- $\xi$ ¹, - $\xi$ ²).
Примером спинорной величины может служить волновая функция частицы
со спином 1/2 (напр., электрона).

Матрица $\sigma$
= || $\gamma$ $\delta$ ||
является в этом случае унитарной матрицей.

К спинорам относят и величины, компоненты
к-рых $\xi$ ¹, $\xi$ ²
комплексно сопряжены с компонентами спинора ( $\xi$ ¹, $\xi$ ²).
Матрица преобразования этих величин

имеет вид $\sigma$ =|| $\alpha$ $\beta$ ||

Пусть Охуz и O'x'y'z' - две
системы координат с параллельными осями, причём O'x'y'z' движется
относительно Oxyz со скоростью $\nu$
= cth $\theta$ (где
с
- скорость света) в направлении, образующем с осями координат углы
xз. При Лоренца преобразованиях,
соответствующих
переходу от Oxyz k O'x'y'z', компоненты спинора преобразуются по
формулам

Если рассматривают преобразования Лоренца
для случая, когда оси координат непараллельны, то матрица $\sigma$
преобразования компонент спинора может быть любой комплексной матрицей
второго порядка, определитель к-рой равен единице,- унимодулярной матрицей.

Наряду с введёнными выше контравариантными
компонентами $\xi$ ¹, $\xi$ ²
спинора, можно ввести ковариантные компоненты $\xi$ $\iota$ , $\xi$ положив $\xi$ $\alpha$
= $\varepsilon$ $\xi$ $\beta$ где

$\varepsilon$ $\alpha$ $\beta$
= _ IQ (как всегда, по повторяющимся индексам производится суммирование).
Иными словами, $\xi$ ²
= $\xi$ $\iota$ , $\xi$ ¹
= = - $\xi$ компоненты преобразуются матрицей || - $\beta$ $\alpha$
||· При вращениях эта матрица совпадает с матрицей $\sigma$ , $\tau$ .
е. при вращениях ковариантные компоненты спинора преобразуются как компоненты
комплексно сопряжённого спинора.

Спинорная алгебра строится аналогично обычной
тензорной алгебре (см. Тензорное исчисление). Спинором валентности
г
(или
спинтензором) наз. совокупность 2' комплексных чисел $\alpha$ $\lambda$ ¹²
·· $\lambda$ ', определённых
с точностью до знака, к-рая при переходе от одной системы координат к другой
преобразуется как произведение г компонент спиноров первой валентности,
т. е. как $\xi$ $\lambda$ $\iota$
| $\lambda$ * ... $\xi$ $\lambda$ '.
Аналогично определяются комплексно сопряжённый спинор валентности г,
смешанный
спинор, спинор с ковариантными компонентами и т. д. Сложение спиноров и
умножение спинора на скаляр

определяются покоординатно. Произведением
двух спиноров наз. спинор, компонентами к-рого являются попарные произведения
компонент сомножителей. Напр., из спиноров второй и третьей валентности
а $\lambda$ $\mu$ и
b⁴можно образовать спинор пятой валентности а $\lambda$ $\mu$ b⁴.
Свёрткой спинора $\alpha$ $\lambda$ $\iota$ $\lambda$ ^2...Г
по индексам $\lambda$ и $\lambda$ наз. спинор

В спинорной алгебре часто используются
тождества

В квантовой механике важную роль играет
исследование систем линейных дифференциальных ур-ний, связывающих величины
спинорного типа, к-рые остаются инвариантными при унимодулярных преобразованиях,
т. к. только такие системы ур-ний релятивистски инвариантны. Наиболее важны
приложения спинорного анализа к теории ур-ний Максвелла и Дирака. Запись
этих ур-ний в спинорной форме позволяет сразу установить их релятивистскую
инвариантность, установить характер преобразования входящих в них величин.
Спинорная алгебра находит также приложения к квантовой теории хим. валентности.
Теория спиноров в пространствах высшего числа измерений связана с представлениями
групп вращений многомерных пространств. С. и. связано также с нек-рыми
вопросами неевклидовой геометрии.

Лит.: P у м е рЮ. Б., Спинорный
анализ, M.- Л., 1936; К а р т а н Э., Теория спиноров, пер. с франц., M.,
1947; Ландау Л., Лифшиц E., Квантовая механика, ч. 1, М.- Л., 1948 (Теоретическая
физика, т. 5, ч. 1); P а ш е в с к и и П. К., Риманова геометрия и тензорный
анализ, 3 изд., M., 1967; его же, Теория спиноров, "Успехи математических
наук", 1955, т. 10, в. 2(64).

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я