СРЕДНИЕ

СРЕДНИЕ средние значения, числовая
характеристика группы чисел или функций.

1) Средним для данной группы чисел х
хназ. любое число, заключённое между
наименьшим и наибольшим из них. Наиболее употребительными С. являются:

арифметическое среднее

геометрическое среднее

гармоническое среднее

кваоратичное среонее

Если все числа х=
1,2,...,п) положительны, то можно для любого ?<>0 определить
степенное С.

частными случаями к-рого являются арифметич.,
гармонич. и квадратичное С., именно: Sa, h и
q
соответственно
при a = 1, - 1 и 2. При ?->0 степенное С. Sстремится
к геометрич. С., так что можно считать S=g.
Важную
роль играет неравенство
S<= B, в частности

Арифметич. и квадратичное С. находят многочисл.
применения в теории вероятностей, математич. статистике, при вычислении
по методу наименьших квадратов и др.

Указанные выше С. могут быть получены из
формулы

где f^-1(h) - функция,
обратная к f(E) (см. Обратная функция), при соответствующем
подборе функции f(E). Так, арифметич. С. получается, если
f(E)
= E, геометрич. С.- если f(E) = log E, гармонич. С.- если
f(E)
=
1/E, квадратичное С.- если f(E) = E².

Наряду со степенными С. рассматривают взвешенные
степенные С.

в частности при ? = 1,

к-рые переходят в обыкновенные степенные
С. при p= pВзвешенные
С. особенно важны при математич. обработке результатов наблюдений (см.
Наблюдений
обработка), когда различные наблюдения производятся с разной точностью
(с разным весом).

2) Арифметико-геометрическое среднее. Для
пары положительных чисел а и b составляются арифметич. С.
aи геометрич. С. gЗатем для пары
aснова находятся арифметич. С.
аи геометрич. С.
gи т. д. Общий предел последовательностей
аи gсуществование к-рого было доказано К. Гауссом,
наз. арифметико-геомстрич. С. чисел
а
и
b;
он важен в
теории эллиптич. функций.

3) Средним значением функции наз. любое
число, заключённое между наименьшим и наибольшим её значениями. В дифференциальном
и интегральном исчислении имеется ряд "теорем о среднем", устанавливающих
существование таких точек, в к-рых функция или её производная получает
то или иное среднее значение. Наиболее важной теоремой о С. в дифференциальном
исчислении является теорема Лаграпжа (теорема о конечном приращении): если
f(x)
непрерывна
на отрезке [а, b] и дифференцируема в интервале
(а, b), то
существует точка с, принадлежащая интервалу
(а, b),
такая, что f(b)
- f(a) = = (b - a) f (с). В интегральном исчис-

лении наиболее важной теоремой о С. является
следующая: если f(x) непрерывна на отрезке [а, b], а ср(.г)
сохраняет постоянный знак, то существует точка с из интервала (а,
b) такая, что

В частности, если ?(?)
= 1, то

Вследствие этого под средним значением
функции f(x) на отрезке [а, b] обычно понимают величину

Аналогично определяют среднее значение
функции нескольких переменных в нек-рой области.