Главная > База знаний > Большая советская энциклопедия > СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
Вырожденные газы.
Если понижать
темп-ру газа при постоянной плотности, начинают проявляться квантовомеханические
эффекты, связанные со свойствами симметрии волновых функций системы одинаковых
частиц. Газ "вырождается" (см. Вырожденный газ). Для частиц с полуцелым
спином волновая функция должна менять знак при перестановке любой пары
частиц. Это, в частности, приводит к тому, что в одном квантовом состоянии
не может находиться болвше одной частицы
(Паули принцип). Количество
частиц с целым спином в одном состоянии может быть любым, но требуемая
в этом случае неизменность волновой функции при перестановке частиц и здесь
приводит к изменению статистич. свойств газа. Частицы с полуцелым спином
описываются статистикой Ферми - Дирака; их называют фермионами.
К
фермионам относятся, напр., электроны, протоны, нейтроны, атомы дейтерия,
атомы лёгкого изотопа гелия ³He. Частицы с целым спином - бозоны
- описываются статистикой Бозе - Эйнштейна. К ним относятся атомы водорода,
атомы ⁴He, кванты света - фотоны.

Пусть ср. число частиц газа в единице объёма
с импульсами, лежащими в интервале d³p,
есть
n3pl(2 $\pi$ h)³,
так
что пчисло частиц в одной ячейке фазового пространства
(g
= 2J + 1, где J - спин частицы). Тогда из распределения Гиббса
следует, что для идеальных газов фермионов (верхний знак) и бозонов (нижний
знак):

В этой формуле $\varepsilon$
= р²/2М - энергия частицы с импульсом $\rho$ , $\mu$
- хим. потенциал, определяемый из условия постоянства числа частиц (N)
в
системе:

Формула (19) переходит в формулу распределения
Больцмана (12) при kT> (h²/M)(N/V)^2/3;
левая
сторона этого неравенства делается порядка правой при таких темп-pax, при
к-рых длина волны де Бройля частиц, движущихся с тепловой скоростью,
становится порядка ср. расстояния между ними. T. о., вырождение сказывается
при темп-pax тем более низких, чем меньше плотность числа частиц в газе
(и чем больше масса частицы M).

В случае фермионов, как и должно быть,
n1. Это приводит к тому, что частицы газа фермионов (ферми-газа) и при
T
=
О обладают отличными от нуля импульсами, поскольку в состоянии с нулевым
импульсом может находиться только одна частица. Точнее, при T = Q для
ферми-газа п1 внутри Ферми поверхности - сферы
в импульсном пространстве с радиусом p =(6 $\pi$ ²/g)^1/3h(N/V)^1/3
,

а вне этой "ферми-сферы"
п= О. При конечных, но низких темп-pax пменяется
от 1 внутри сферы до нуля вне сферы постепенно, причём ширина переходной
области порядка MkT/pВеличина пдля
ферми-газа как функция от энергии $\varepsilon$
изображена схематически на рис. 2 ( $\varepsilon$ = $\rho$ ²/2М).
При изменении темп-ры газа меняется состояние частиц только в этом переходном
слое, и теплоёмкость ферми-газа при низких темп-pax пропорциональна T
и
равна:

Рис. 2. Функция распределения Ферми - Дирака.

В бозе-газе при T = O все частицы находятся
в состоянии с нулевым импульсом. При достаточно низких темп-рах в состоянии
с р = 0 находится конечная доля всех частиц; эти частицы образуют
т. н. бозе-эйнштейновский конденсат. Остальные частицы находятся в состояниях
с $\rho$ <>
O, причём
их число определяется формулой (19) с $\mu$
= О. При темп-ре

T2/3
)*(h/kM)] * (N/V)^2/3в
бозе-газе происходит фазовый переход (см. ниже). Доля частиц с нулевым
импульсом обращается в нуль, Базе - Эйнштейна конденсация исчезает.
Кривая зависимости теплоёмкости от темп-ры имеет в точке Tизлом.
Распределение частиц по импульсам при T > Тдаётся
формулой (19), причём $\mu$
< О. Схематически функции распределения Максвелла, Ферми- Дирака и Бозе-
Эйнштейна (приТ>T

Рис. 3. Сравнение функций распределения
Максвелла (M), Ферми-Дирака (Ф.- Д.) и Бозе - Эйнштейна (Б.- Э.). По оси
ординат отложено число частиц на одно состояние с энергией $\varepsilon$ .

Особым случаем применения статистики Бозе
- Эйнштейна является равновесное электромагнитное излучение, к-рое можно
рассматривать как газ, состоящий из фотонов. Энергия фотона связана с его
импульсом соотношением $\varepsilon$
= h $\omega$ = рс, где
с
- скорость света в вакууме. Число фотонов не является заданной величиной,
а само определяется из условия термодинамич. равновесия, поэтому их распределение
по импульсам даётся формулой (19) с $\mu$
= О (причём $\varepsilon$
= рс). Распределение энергии в спектре излучения получается умножением
числа фотонов на энергию $\varepsilon$ ,
так что плотность энергии в интервале частот

d $\omega$
равна п³d $\omega$ )/ $\pi$ ²c³,
причем пберётся при $\varepsilon$
= h $\omega$ . T. о. получается
формула Планка для спектра равновесного (чёрного) излучения (см. Планка
закон излучения).

Кристаллическая решётка. Применение С.
ф. к вычислению термодинамич. функций кристаллич. решётки основано на том,
что атомы в решётке совершают малые колебания около своих положений равновесия.
Это позволяет рассматривать решётку как совокупность связанных гармонич.
осцилляторов.
В
такой системе могут распространяться волны, характеризующиеся своим законом
дисперсии, т. е. зависимостью частоты $\omega$
от волнового вектора k. B квантовой механике эти волны можно рассматривать
как совокупность т. н. элементарных возбуждений, или квазичастиц, -
фононов,
обладающих энергией h $\omega$
и квазиимпульсом hk. Осн. отличие квазиимпульса от импульса состоит
в том, что энергия фонона является периодич. функцией квазиимпульса с периодом,
по порядку величины равным h/a, где $\alpha$
- постоянная решётки. Функция распределения фононов по квазиимпульсам даётся
формулой распределения Бозе - Эйнштейна (19) с $\mu$
= О. При этом $\varepsilon$
= h?. T. о., знание зависимости $\omega$ (k)
позволяет вычислить теплоёмкость решётки. Эту зависимость можно определить
из опытов по неупругому рассеянию нейтронов в кристалле (см. Нейтронография)
или
вычислить теоретически, задавая значения "силовых констант", определяющих
взаимодействие атомов в решётке. При низких темп-рах существенны только
фононы с малой частотой, соответствующие квантам обычных звуковых волн,
для к-рых связь (а с k линейна. Это приводит к тому, что теплоёмкость
кристаллич. решётки пропорциональна T³. При высоких же темп-рах
можно пользоваться законом равного распределения энергии по степеням свободы,
так что теплоёмкость не зависит от темп-ры и равна 3Nk, где N -
число атомов в кристалле.

Металлы. В металлах вклад в термодинамич.
функции дают также электроны проводимости. Состояние электрона в металле
характеризуется квазиимпульсом, и, т. к. электроны подчиняются статистике
Ферми - Дирака, их распределение по киазиимпульсам даётся формулой (19).
Поэтому теплоёмкость электронного газа, а следовательно, и всего металла
при достаточно низких темп-рах пропорциональна T. Отличие от фермигаза
свободных частиц состоит в том, что поверхность Ферми, около к-рой сосредоточены
"активные" электроны, уже не является сферой, а представляет собой нек-рую
сложную поверхность в пространстве квазиимпульсов. Форму поверхности Ферми,
равно как и зависимость энергии от квазпимпульса вблизи этой поверхности,
можно определять экспериментально, гл. обр. исследуя магнитные свойства
металлов, а также рассчитывать теоретически, используя т. н. модель квазипотенциала.
В сверхпроводниках (см. Сверхпроводимость)
возбуждённые состояния
электрона отделены от ферми-поверхности щелью конечной ширины, что приводит
к экспрненц. зависимости электронной теплоёмкости от темп-ры. В ферромагнитных
и антиферромагнитных веществах вклад в термодинамич. функции дают также
колебания магнитных моментов - спиновые волны.

В диэлектриках и полупроводниках при T
=
О свободные электроны отсутствуют. При конечных темп-рах в них появляются
заряж. квазичастицы - электроны с отрицат. зарядом и (в равном числе) "дырки"
с положит, зарядом. Электрон и дырка могут образовать связанное состояние
- квазичастицу, наз. экситоном. Др. тип экситона представляет собой
возбуждённое состояние атома диэлектрика, перемещающееся в кристаллич.
решётке.

Методы квантовой теории поля в С. ф. При
решении задач квантовой С. ф., прежде всего при исследовании свойств квантовых
жидкостей, электронов в металлах и магнетиков, важное значение имеют
методы квантовой теории поля, введённые в С. ф. сравнительно недавно. Осн.
роль в этих методах играет функция Грина G макроскопич. системы, аналогичная
функции Грина в квантовой теории поля. Она зависит от энергии $\varepsilon$
и импульса р, закон дисперсии квазичастиц $\varepsilon$ ( $\rho$ )
определяется
из уравнения:

[G ( $\varepsilon$ ,
р)]^-1 = 0, (21)

т. е. энергия квазичастицы определяется
полюсом функции Грина. Существует регулярный метод вычисления функций Грина
в виде ряда по степеням энергии взаимодействия между частицами. Каждый
член этого ряда содержит многократные интегралы по энергиям и импульсам
от функций Грина невзаимодействующих частиц и может быть изображён графически
в виде диаграмм, аналогичных
Фейнмана диаграммам в квантовой электродинамике.
Каждая из этих диаграмм имеет определённый физический смысл, что позволяет
отделить в бесконечном ряду члены, ответственные за интересующее явление,
и просуммировать их. Существует также диаграммная техника для вычисления
темп-рных функций Грина, позволяющих вычислять термодинамич. величины непосредственно,
без введения квазичастиц.

Упомянутые в разделе о жидкости методы,
использующие многочастичные функции распределения квазнчастнц, во многих
отношениях близки к методам квантовой теории поля. Использование этих функций
всегда основано на приближённом "расцеплении" - выражении функции более
высокого порядка через функции более низкого.

Фазовые переходы. При непрерывном изменении
внешних параметров (напр., давления или темп-ры) свойства системы могут
при нек-рых значениях параметров измениться скачкообразно, т. е. происходит
фазовый переход. Фазовые переходы делятся на переходы первого рода, сопровождающиеся
выделением скрытой теплоты перехода и скачкообразным изменением объёма
(к ним относится, напр., плавление), и переходы второго рода, в
к-рых скрытая теплота и скачок объёма отсутствуют (напр., переход в сверхпроводящее
состояние). Статистич. теория фазовых переходов составляет важную, но ещё
далёкую от завершения область С. ф. Наибольшую трудность для теоретич.
исследования представляют при этом свойства вещества вблизи линии фазового
перехода второго рода и вблизи критической точки
фазового перехода
первого рода. С матем. точки зрения термодинамич. функции системы имеют
здесь особенности. Вблизи этих точек происходят своеобразные
критические
явления. В то же время здесь аномально возрастают флуктуации, и рассмотренные
выше приближённые методы С. ф. оказываются неприменимыми. Поэтому важную
роль играет небольшое число точно решаемых моделей, в к-рых есть переходы
(напр., т. н. модель Йзинга).

Флуктуации. В основе С. ф. лежит тот факт,
что физ. величины, характеризующие макроскопич. тела, с большой точностью
равны своим ср. значениям. Это равенство является всё же приближённым,
в действительности все величины испытывают малые беспорядочные отклонения
от ср. значений - фчуктуации. Существование флуктуации имеет большое принципиальное
значение, т. к. прямо доказывает статистнч. характер термодинамич. закономерностей.
Кроме того, флуктуации играют роль шума, мешающего физ. измерениям и ограничивающего
их точность. Флуктуации нек-рсш величины х около её ср. значения
х характеризуются ср. квадратом флуктуации

( $\Delta$ х)²
= (х-х)² = х² - х².

В подавляющем большинстве случаев величина
х испытывает флуктуации порядка корень ( $\Delta$ х)²,
существенно большие флуктуации встречаются крайне редко. Знание функции
распределения системы позволяет вычислить ср. квадрат флуктуации точно
так же, как н ср. значение любой физ. величины. Малые флуктуации термодинамич.
величин можно вычислить, используя статистич. истолкование энтропии. Согласно
(10), вероятность неравновесного состояния системы с энтропией S пропорциональна
e^slk.
Это
приводит к формуле

Напр., ср. квадраты флуктуации объёма и
темп-ры тела равны:

Из этих формул видно, что относит. флуктуации
объёма и флуктуации

темп-ры обратно пропорциональны кореньN,
где
N
- число частиц в теле. Это и обеспечивает малость флуктуации для мак-роскопич.
тел. Связь между флуктуация-ми различных величин ххарактеризуется
функцией $\Delta$ хЕсли
флуктуации величин хи хстатистически
независимы, то $\Delta$ х
= $\Delta$ хх=
О.

Под хи хможно
понимать и значения одной и той же величины, напр, плотности, в различных
точках пространства. Тогда эта функция имеет смысл пространственной корреляционной
функции. С увеличением расстояния между точками корреляционная функция
стремится к нулю (обычно экспоненциально), т. к. флуктуации в далёких точках
пространства происходят независимо. Расстояние, на к-ром эта функция существенно
убывает, наз. корреляционным радиусом.

Временной ход флуктуации и спектральное
распределение флуктуационного шума описываются временной корреляционной
функцией $\varphi$ (t),
в к-рой усредняются флуктуации величины, взятые в различные моменты времени
t:

$\varphi$ (t= $\Delta$ х (tх(t

Важную роль в теории флуктуации играет
т. н. флуктуационно-диссипативная теорема, связывающая флуктуации в системе
с изменением её свойств под влиянием определённых внешних воздействий.
Простейшее соотношение такого рода можно получить, рассматривая флуктуации
гармонич. осциллятора с потенц. энергией 1/2 m $\omega$ 2
(х - х)², где т - масса осциллятора, соо - его собств.
частота. Вычисление с помощью формулы (22) даёт: ( $\Delta$ х)²
= kT/т $\omega$ o².
С др. стороны, если на осциллятор действует сила f, ср. значение
х
смещается
на величину $\delta$ х
= = f/m $\omega$ 2,
так
что

и флуктуация х действительно связана
с возмущением под влиянием силы f. В общем случае флуктуационно-диссипативная
теорема применима, если для х существует "обобщённая сила" f,
к-рая
входит в оператор энергии системы (гамильтониан; см. Квантовая механика)
в
виде члена -fx, где х - квантовоме-ханнч. оператор, соответствующий
величине х. Включение силы f приведёт к изменению ср. значения х
на
величину $\delta$ $\chi$ ,
причём,
если f зависит от времени как е^-1t,
это изменение можно записать в виде:

$\delta$ х
= $\alpha$ ( $\omega$ )
f;

комплексная величина $\alpha$ ( $\omega$ )
наз. обобщённой восприимчивостью системы. Теорема утверждает, что фурье-образ
корреляционной функции

выражается через $\alpha$
след, образом:

(Im означает мнимую часть функции). Частным
случаем (25) является Найквиста формула.

С. ф. неравновесных процессов.
Всё
большее значение приобретает
кинетика физическая - раздел С. ф.,
изучающий процессы в системах, находящихся в неравновесных состояниях.
Здесь возможны две постановки вопроса. Во-первых, можно рассматривать систему
в нек-ром неравновесном состоянии и следить за её переходом в состояние
равновесия. Во-вторых, можно рассматривать систему, неравновесное состояние
к-рой поддерживается внеш. условиями, напр, тело, в к-ром задан градиент
темп-ры, протекает электрич. ток и т. п., или тело, находящееся в переменном
внеш. поле.

Если отклонение от равновесия мало, неравновесные
свойства системы описываются т. н. кинетическими коэффициентами. Примерами
таких коэффициентов являются коэффициенты вязкости, теплопроводности
и
диффузии,
электропроводность металлов и т. п. Эти величины удовлетворяют принципу
симметрии кинетич. коэффициентов, выражающему симметрию уравнений механики
относительно изменения знака времени (см. Онсагера теорема).
В силу
этого принципа, напр., электропроводность кристалла описывается симметричным
тензором.

Описание сильно неравновесных состояний,
а также вычисление кинетич. коэффициентов производятся с помощью кинетического
уравнения. Это уравнение представляет собой интегро-дифференциальное уравнение
для од-ночастичной функции распределения (в квантовом случае - для одночастичной
матрицы плотности, или статистического оператора).
Такое замкнутое,
т. е. не содержащее др. величин, уравнение невозможно получить в общем
виде. При его выводе необходимо использовать малые параметры, имеющиеся
в данной конкретной задаче. Важнейшим примером является кинетическое
уравнение Болъцмана, описывающее установление равновесия в газе за
счёт столкновений между молекулами. Оно справедливо для достаточно разреженных
газов, когда длина свободного пробега велика по сравнению с расстояниями
между молекулами. Конкретный вид этого уравнения зависит от эффективного
сечения рассеяния молекул друг на друге. Если это сечение известно, уравнение
можно решать, разлагая искомую функцию по ортогональным полиномам (см.
Ортогональная
система функций). Таким способом можно вычислить кинетич. коэффициенты
газа, исходя из известных законов взаимодействия между молекулами. Уравнение
Больцмана учитывает только парные столкновения между молекулами и описывает
только первый неисчезающий член разложения этих коэфф. по плотности газа.
Удалось найти и более точное уравнение, учитывающее также тройные столкновения,
что позволило вычислить следующий член разложения.

Особую проблему представляет вывод кинетич.
уравнения для плазмы. Из-за медленного убывания кулоновских сил с расстоянием
даже при рассмотрении парных столкновений существенно экранирование этих
сил остальными частицами.

Неравновесные состояния твёрдых тел и квантовых
жидкостей можно при низких темп-pax рассматривать как неравновесные состояния
газа соответствующих квазичастиц. Поэтому кинетич. процессы в таких системах
описываются кинетич. уравнениями для квазичастиц, учитывающими столкновения
между ними и процессы их взаимного превращения.

Новые возможности открыло применение в
физ. кинетике методов квантовой теории поля. Кинетич. коэффициенты системы
можно выразить через её функцию Грина, для к-рой существует общий способ
вычисления с помощью диаграмм. Это позволяет в ряде случаев получить кинетич.
коэффициенты без явного использования кинетич. уравнения и исследовать
неравновесные свойства системы, даже когда не выполняются условия применимости
кинетич. уравнения.

Основные вехи развития С. ф. С.
ф. целиком основана на представлениях об атомном строении материи. Поэтому
начальный период развития С. ф. совпадает с развитием атомистич. представлений
(см. Атомизм). Развитие С. ф. как раздела теоретич. физики началось
в сер. 19 в. В 1859 Дж. Максвелл определил функцию распределения
молекул газа по скоростям. В 1860-70 P. Клаузиус
ввёл понятие длины
свободного пробега и связал её с вязкостью и теплопроводностью газа. Примерно
в то же время Л. Болъцман обобщил распределение Максвелла на случай,
когда газ находится во внеш. поле, доказал теорему о распределении энергии
по степеням свободы, вывел кинетич. уравнение, дал статистич. истолкование
энтропии и показал, что закон её возрастания является следствием кинетич.
уравнения. Построение классической С. ф. было завершено к 1902 в работах
Дж. Гиббса. Теория флуктуации была развита в 1905-06 в работах M.
Смолуховского
и
А. Эйнштейна. В 1900 M. Планк вывел закон распределения энергии
в спектре излучения чёрного тела, положив начало развитию как квантовой
механики, так и квантовой С. ф. В 1924 Ш. Базе
нашёл распределение
по импульсам световых квантов и связал его с распределением Планка. А.
Эйнштейн обобщил распределение Бозе на газы с заданным числом частиц. Э.
Ферми
в
1925 получил функцию распределения частиц, подчиняющихся принципу Паули,
а П. A. M. Дирак установил связь этого распределения и распределения
Бозе - Эйнштейна с математич. аппаратом квантовой механики. Дальнейшее
развитие С. ф. в 20 в. шло под знаком приложения её основных принципов
к исследованию конкретных проблем.

Лит.:

<Классические труды: Б о л ь цм
а н Л., Лекции по теории газов, пер. с нем., M., 1956; его же, Статьи н
речи, [пер. с нем.], M., 1970; ГиббсДж. В., Основные принципы статистической
механики, пер. с англ., М.- Л., 1946.

<Учебники: Aнс е л ь м А. И., Основы
статистической физики и термодинамики, M., 1973; Л е о н т о-вич M. А.,
Статистическая физика, M.- Л., 1944; Ландау Л. Д., Лифшиц E. M., Теоретическая
физика, т. 5, 2 изд., M., 1964; Майер Дж., Гепперт"

M а и e p M., Статистическая механика,
пер. с англ., M., 1952; К и т т е л ь Ч., Квантовая теория твердых тел,
пер. с англ., M., 1967; X и л л Т., Статистическая механика. Принципы и
избранные приложения, пер. с англ., M., 1960; Хуан г К., Статистическая
механика, пер. с англ., M., 1966. Литература по специальным вопросам:

Абрикосов А. А., Горькое Л. П., Дзялошинский
И. E., Методы квантовой теории поля в статистической физике, M., 1962;
Боголюбов H. H., Проблемы динамической теории в статистической физике,
М.-Л., 1946; Гуревич Л. Э., Основы физической кинетики, Л.- M., 1940; Силин
В. П., Введение в кинетическую теорию газов, M., 1971; Физика простых жидкостей.
Сб., пер. с англ., M., 1971. Л. П. Питаевский.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я