Главная > База знаний > Большая советская энциклопедия > СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ функции от
результатов наблюдений, употребляемые для статистического оценивания
неизвестных
параметров распределения вероятностей изучаемых случайных величин. Напр.,
если X- независимые случайные величины,
имеющие одно и то же нормальное распределение с неизвестным средним
значением а, то функции - среднее арифметическое результатов наблюдений

и выборочная медиана $\mu$
= $\mu$ (Х $\iota$ ,....
Xа.
В
качестве С. о. к.-л. параметра $\theta$
естественно выбрать функцию $\theta$ *(Х $\iota$ ,
.., Xот результатов наблюдений Xi, ..., Xn, в нек-ром
смысле близкую к истинному значению параметра. Принимая к.-л. меру "близости"
С. о. к значению оцениваемого параметра, можно сравнивать различные оценки
по качеству. Обычно мерой близости оценки к истинному значению параметра
служит величина среднего значения квадрата ошибки

(выражающаяся через математическое ожидание
оценки
Е $\theta$ $\theta$ *
и её дисперсию D $\theta$ Q*).
В классе всех несмещённых опенок (для к-рых E $\theta$ $\theta$ *
= $\theta$ ) наилучшими с
этой точки зрения будут оценки, имеющие при заданном $\eta$ минимальную
возможную дисперсию _при всех $\theta$ .
Указанная выше оценка X для параметра а нормального распределения
является наилучшей несмещённой оценкой, поскольку дисперсия любой другой
несмещенной оценки а* параметра а удовлетворяет неравенству
D> D²/п,
где $\sigma$ ²
- дисперсия нормального распределения. Если существует несмещённая
оценка с минимальной дисперсией, то можно найти и несмещённую наилучшую
оценку в классе функций, зависящих только от достаточной статистики.
Имея
в виду построение С. о. для больших значений п, естественно предполагать,
что вероятность отклонений $\theta$ *
от истинного значения параметра $\theta$ ,
превосходящих к.-л. заданное число, будет близка к нулю при n -> бескон..
С. о. с таким свойством называются состоятельными оценками. Несмещённые
оценки, дисперсия к-рых стремится к нулю при n->бескон., являются
состоятельными. Поскольку скорость стремления к пределу играет при этом
важную роль, то асимптотич. сравнение С. о. производят по отношению их
асимптотич. дисперсий. Так, среднее арифметическое X в приведённом
выше примере - наилучшая и, следовательно, асимптотически наилучшая оценка
для параметра а, тогда как выборочная медиана $\mu$ ,
представляющая собой также несмещённую оценку, не является асимптотически
наилучшей, т. к.

(тем не менее использование $\mu$
имеет также положительные стороны: напр., если истинное распределение не
является в точности нормальным, а несколько отличается от него, дисперсия
X
может
резко возрасти, а дисперсия $\mu$
остаётся почти той же, т. е. $\mu$
обладает свойством, наз. "прочностью"). Одним из распространённых общих
методов получения С. о. является метод моментов, к-рый заключается в приравнивании
определённого числа выборочных моментов к соответствующим моментам теоретич.
распределения, к-рые суть функции от неизвестных параметров, и решении
полученных уравнений относительно этих параметров. Хотя метод моментов
удобен в практич. отношении, однако С. о., найденные при его использовании,
вообще говоря, не являются асимптотически наилучшими. Более важным с теоретич.
точки зрения представляется максимального правдоподобия метод, который
приводит к оценкам, при некоторых общих условиях асимптотически наилучшим.
Частным случаем последнего является наименьших квадратов метод. Метод
С. о. существенно дополняется оцениванием с помощью доверительных границ.

Лит.: К е н д а л л M., СтьюартА.,
Статистические выводы и связи, пер. с англ., M., 1973; Крамер Г., Математические
методы статистики, пер. с англ., 2 изд., M., 1975. А. В. Прохоров.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я