Главная > База знаний > Большая советская энциклопедия > СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ численный
метод решения математич. задач, при к-ром искомые величины представляют
вероятностными характеристиками к.-л. случайного явления, это явление моделируется,
после чего нужные характеристики приближённо определяют путём статистической
обработки "наблюдений" модели. Напр., требуется рассчитать потоки тепла
в нагреваемой тонкой металлич. пластине, на краях к-рой поддерживается
нулевая темп-pa. Распределение тепла описывается тем же уравнением, что
и расплывание пятна краски в слое жидкости (см. Теплопроводность, Диффузия).
Поэтому
моделируют плоское броуновское движение частиц "краски" по пластине,
следя за их положениями в моменты k $\tau$ ,
k = 0, 1, 2, ... Приближённо принимают, что за малый интервал $\tau$
частица перемещается на шаг h равновероятно во всех направлениях.
Каждый раз направление выбирается случайным образом, независимо от всего
предыдущего. Соотношение между $\tau$
и h определяется коэффициентом теплопроводности. Движение начинается
в источнике тепла и кончается при первом достижении края (наблюдается налипание
"краски" на край). Поток Q(C) тепла через участок С границы измеряется
количеством налипшей краски. При общем количестве N частиц согласно больших
чисел закону такая оценка даёт случайную относительную ошибку порядка
1/корень N (и система-тич. ошибку порядка h из-за дискретности выбранной
модели).

Искомую величину представляют
математическим
ожиданием числовой функции f от случайного исхода $\omega$
явления:
Ef ( $\omega$ )
= интеграл f( $\omega$ )dP, $\tau$ .
е.
интегралом по вероятностной мере P (см.
Мера множества'). На оценку
Ef( $\omega$ ) = [f( $\omega$ + +... + f ( $\omega$ где $\omega$ ..., $\omega$ - смоделированные исходы, можно смотреть как на квадратурную формулу для
указанного интеграла со случайными узлами сой и случайной погрешностью
RDfIN,
считая
большую погрешность пренебрежимо маловероятной;
дисперсия Df может
быть оценена в ходе наблюдений (см. Ошибок теория).

В разобранном выше примере f( $\omega$ )
= = 1, когда траектория кончается на С; иначе f( $\omega$ )
= О. Дисперсия Df = = [1-Q(C)]Q(C) <= 1/4. Интеграл берётся по
пространству ломаных со звеньями постоянной длины; он может быть выражен
через кратные интегралы.

Проведение каждого "эксперимента" распадается
на две части: "розыгрыш" случайного исхода $\omega$
и последующее вычисление функции f( $\omega$ ).
Когда пространство всех исходов и вероятностная мера P слишком сложны,
розыгрыш проводится последовательно в несколько этапов (см. пример). Случайный
выбор на каждом этапе проводится с помощью случайных чисел, напр, генерируемых
к.-л. физич. датчиком; употребительна также их арифметич. имитация - псевдослучайные
числа (см. Случайные и псевдослучайные числа). Аналогичные процедуры
случайного выбора используются в математич. статистике и теории игр.

С. м. широко применяется для решения на
ЭВМ интегральных уравнений, напр, при исследовании больших систем. Они
удобны своей универсальностью, как правило, не требуют большого объёма
памяти. Недостаток - большие случайные погрешности, слишком медленно убывающие
при увеличении числа экспериментов. Поэтому разработаны приёмы преобразования
моделей, позволяющие понижать разброс наблюдаемых величин и объём модельного
эксперимента.

Лит.: Метод статистических испытаний
(Метод Монте-Карло), M., 1962; Ермаков С. M., Метод Монте-Карло и смежные
вопросы, M., 1971. H. H. Ченцов.

<СТАТИСТИЧЕСКОЕ НАБЛЮДЕНИЕ,
см.
Выборочное
наблюдение, Наблюдение сплошное.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я