СТЕПЕННОЙ РЯД

СТЕПЕННОЙ РЯД , ряд
вида a+ a2 + ... + an
+ ..., где коэффициенты a..., а - комплексные числа, не зависящие от комплексного
переменного z. Областью сходимости С. р. явчяется, вообще говоря, открытый
круг D = = {z: |z| < R} с центром в точке z = = 0. Этот
круг наз. кругом сходимости С. р., а его радиус R - радиусом сходимости
С. р. В частных случаях круг сходимости может вырождаться в точку z = 0
(в этом случае R = 0 пример: 1 + l!z + 2!z² + ... + + nlzⁿ+
...) или совпадать со всей комплексной плоскостью (R = бескон.;

пример: 1 + z/1! + z²/2!
+ ···+zⁿ/n! + ...)· Радиус сходимости С. р. выражается через
его коэффициенты по формуле Коши - Адамара

Во всех точках круга сходимости С. р. сходится
абсолютно; в граничных точках этого круга (в точках окружности |z| = =
R) С. р. может как сходиться, гак и расходиться. Примеры: 1 + z + z²
+ + ... +zⁿ + ..., R = 1, ряд расходится в каждой точке
окружности |z| = 1;

ряд абсолютно сходится во всех точках окружности
|z| = l. B любой внеш. точке круга сходимости (|z| > R) С. р. расходится.
Внутри круга сходимости

сумма С. p. f(z) =nявляется
аналитической
функцией',
производные любого порядка функции f(z)
можно получить
почленным дифференцированием данного ряда, причём С. р. совпадает с Тейлора
рядом
своей суммы.

А. А. Гончар.