Главная > База знаний > Большая советская энциклопедия > СТРУКТУРА

СТРУКТУРА

СТРУКТУРА решётка (матем.), важное
алгебраич. понятие. С. наз. непустое множество S, для элементов к-рого
определены две операции - объединение и пересечение, обозначаемые соответственно
значками U и П (т. е. каждой паре элементов $\alpha$
и $\delta$ из S однозначно
сопоставлен элемент $\alpha$
U Ь из S - их объединение и элемент а П Ъ из S - их
пересечение), причём эти операции удовлетворяют следующим условиям (аксиомам
С.):

I. Ассоциативность (a
U
b)
U
с
= = a U (b U с), (а П b)
П
с
= =
an (b П с);

II. Коммутативность a
U b = b
U
а, а П b = b П a;

III. Абсорбция (a U b) П $\alpha$ = $\alpha$ ,
(aП b) U a= a.

Примеры C.: 1) множество целых положительных
чисел с операциями взятия наибольшего общего делителя и наименьшего общего
кратного; 2) множество всех подмножеств произвольного множества с операциями
взятия теоретико-множественных объединения и пересечения подмножеств; 3)
множество действительных чисел с операциями взятия большего и меньшего
числа из двух данных чисел.

Подробно изучены различные специальные
типы С., т. е. С., на к-рые наложены дополнит, условия (напр., дистрибутивные
С., модулярные, или дедекиндовы, С., С. с дополнениями). Весьма важным
частным случаем С. являются булевы алгебры, т. е. дистрибутивные С. с единицей
и нулём, обладающие дополнениями к каждому элементу. Булевы алгебры имеют
большое значение для матем. логики и теории вероятностей. Другие типы С.
находят применение в теории множеств, топологии, функциональном анализе.

В С. можно ввести частичное упорядочение
(см. Упорядоченные и частично упорядоченные множества)
элементов,
естественным образом связанное с операциями в С.; этим устанавливается
равносильность теории С. и теории частично упорядоченных множеств.

Появление понятия С. относится к сер. 19
в.; наиболее полно оно было определено в работах P. Дедекинда.

Лит.: Биркгоф Г., Теория структур
пер. с англ., M., 1952; Скорняков Л. А. Элементы теории структур, M., 1970;
Сик о р с к и и Р., Булевы алгебры, пер с англ., M., 1969; Владимиров Д.
А. Булевы алгебры, M., 1969.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я