СУММИРОВАНИЕ

СУММИРОВАНИЕ расходящихся
рядов и интегралов, построение обобщённой суммы ряда (соответственно
значения интеграла), не имеющего обычной суммы (соответственно значения).
Расходящиеся ряды могут получаться при перемножении условно сходящихся
рядов, при разложении функций в ряд Фурье, при дифференцировании и интегрировании
функциональных рядов и т. д. Часто встречаются расходящиеся ряды и интегралы
в теории электромагнитного поля и др. вопросах современной физики. Во многих
случаях расходящиеся ряды и интегралы можно просуммировать, т. е. найти
для них сумму (значение) в обобщённом смысле, обладающую нек-рыми
из основных свойств обычной суммы (значения) сходящегося ряда (интеграла).
Обычно требуется, чтобы из того, что ряд

суммируется к Т, следовало, что ряд

суммируется к

а ряд

суммируется к S - а.
Кроме того, чаще всего рассматриваются регулярные методы С., т. е. методы,
суммирующие каждый сходящийся ряд к его обычной сумме. В большинстве методов
С. расходящийся ряд рассматривается в известном смысле как предел сходящегося
ряда. А именно, каждый член ряда

умножается на нек-рый множитель Хn(t)
так, чтобы после умножения получился сходящийся ряд

с суммой o(t). При этом множители
лвыбираются так, чтобы при каждом фиксированном
n
предел
ляпри нек-ром непрерывном или дискретном изменении
параметра t равнялся 1. Тогда члены ряда (2) стремятся к
соответствующим членам ряда (1). Если при этом o(t) имеет
предел, то его паз. обобщённой суммой данного ряда, соответствующей данному
выбору множителей (данному методу С.). Напр., если положить лямбда= 1 при п =S t и kn(t) = = 0 при n>t и брать
f-> оо , то получится обычное понятие суммы ряда; при лямбда)
=
= tⁿ для t<1 и t->l получается метод
Абеля - Пуассона. Часто указывается не результат умножения членов ряда
на лв методе средних арифметических Чезаро полагают

говорят, что ряд суммируется к А
методом
Чезаро k-го порядка. Рассматриваются и методы Чезаро дробного порядка.
С ростом k возрастает сила метода Чезаро, т. е. расширяется множество
рядов, суммируемых этим методом. Всякий ряд, суммируемый методом Чезаро
какого-либо порядка, суммируется и методом Абеля - Пуассона и притом к
той же сумме. Напр., ряд 1 - 1 + 1 -... + (-1)^n-1 + ...
суммируется методом Абеля - Пуассона к значению ¹/т. к.

Методы Чезаро и Абеля - Пуассона
применяются в теории тригонометрич. рядов для нахождения функции по её
ряду Фурье, т. к. ряд Фурье любой непрерывной функции суммируется к этой
функции методом Чезаро первого порядка, а тем

самым и методом Абеля - Пуассона.
В 1901 Г. Ф. Вороной предложил метод С., частными случаями к-рого
являются все методы Чезаро. Пусть р=0, р= 0<, р = pр;
обобщённой суммой ряда, по Вороному, наз. предел

Метод Вороного регулярен, если

В 1911 нем. математик О. Теплиц нашёл
необходимые и достаточные условия, к-рым должна удовлетворять треугольная
матрица ||а|| (где а0 при n>m)
для того, чтобы метод С., определяемый формулой

был регулярен.Польский математик
X. Штейнхауз обобщил эти условия на случай квадратных матриц.

В теории аналитич. функций важную
роль играет метод суммирования Бореля, позволяющий аналитически продолжить
функцию, заданную степенным рядом, за границу круга сходимости. Важный
метод С. тригонометрич. рядов был предложен С. H. Бернштейном
и
нем. математиком В. Рогозинским. Бернштейн использовал этот метод для получения
сходящихся интерполяционных процессов.

Теория С. расходящихся интегралов
аналогична теории С. расходящихся рядов. Напр., если интеграл



расходится и существует предел

то говорят, что первый интеграл суммируем
к А методом Чезаро порядка лямбда.

Лит.: Харди Г., Расходящиеся
ряды, пер. с англ., М., 1951; Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер.
с англ., [2 изд.], т. 1 -2, М., 1965; Титчмарш Е., Введение в теорию интегралов
Фурье, пер. с англ., М.- Л., 1948; Бари H. К., Тригонометрические ряды,
М., 1961.