СФЕРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

СФЕРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ математическая
дисциплина, изучающая геометрич. образы, находящиеся на сфере, подобно
тому как планиметрия изучает геометрич. образы, находящиеся на плоскости.

Всякая плоскость, пересекающая сферу,
даёт в сечении нек-рую окружность; если секущая плоскость проходит через
центр О сферы, то в сечении получается т.н. большой круг. Через каждые
две точки А и В на сфере (рис., /), кроме случая диаметрально противоположных
точек, можно провести единственный большой круг. Большие круги сферы являются
её геодезич. линиями и поэтому в С. r. играют роль, аналогичную роли прямых
в планиметрии. Однако в то время как любой отрезок прямой является кратчайшим
между его концами, дуга большого круга на сфере будет кратчайшей лишь в
случае, когда она короче дополнительной дуги. Во многих других отношениях
С. г. также отлична от планиметрии; так, напр., в С. r. не существует параллельных
геодезических: два больших круга всегда пересекаются, и притом в двух точках.

Длину отрезка АВ на сфере,
т. е. дугу АтВ (рис., 1) большого круга, измеряют соответствующим
пропорциональным ей центральным углом АОВ. Угол ABC (рис.,
2), образованный на сфере дугами двух больших кругов, измеряют углом
А'ВС
между касательными к соответствующим дугам в точке пересечения
В
или двугранным углом, образованным плоскостями ОBА и ОВС.

При пересечении двух больших кругов
на сфере образуется четыре сферических двуугольника (рис., 3). Сферич.
двуугольник определяется заданием своего угла. Площадь сферического двуугольника
определяется по формуле: S = 2R²A, где R - радиус
сферы, А - угол двуугольника, выраженный в радианах.

Три больших круга, не пересекающихся
в одной паре диаметрально противоположных точек, образуют на сфере восемь
сферических треугольников (рис., 4); зная элементы (углы и стороны)
одного
из них, легко определить элементы всех остальных. Поэтому обычно рассматривают
соотношения между элементами лишь одного треугольника, притом того, все
стороны к-рого меньше половины большого круга (такие треугольники наз.
эйлеровыми). Стороны а, о, с сферич. треугольника измеряются
плоскими углами трёхгранного угла ОАВС (рис., 5), углы А,
В, С треугольника - двугранными углами того же трёхгранного угла. Свойства
сферич. треугольников во многом отличаются от свойств треугольников на
плоскости (прямолинейных треугольников). Так, к известным трём случаям
равенства прямолинейных треугольников для треугольников на сфере добавляется
ещё четвёртый: два треугольника равны, если равны их соответствующие углы
(на сфере не существует подобных треугольников).

Равными треугольниками считаются
те, к-рые могут быть совмещены после передвижения по сфере. Отсюда следует,
что равные сферич. треугольники имеют равные элементы и одинаковую ориентацию.
Треугольники,
имеющие равные элементы и различную ориентацию, наз. симметричными; таковы,
напр., треугольники АС'С и ВСС" на рис.,
6.

Во всяком сферич. треугольнике (эйлеровом)
каждая
сторона меньше суммы и больше разности двух других; сумма всех сторон всегда
меньше 2я. Сумма углов сферич. треугольника всегда меньше Зл и больше я.
Разность s - л = = е, где x - сумма углов сферич. треугольника, наз. сферическим
избытком. Площадь сферич. треугольника определяется по формуле: S = R²e,
где R - радиус сферы. О соотношении между углами и сторонами сферич.
треугольника см. Сферическая тригонометрия.

Положение каждой точки на сфере вполне
определяется заданием двух чисел: эти числа (координаты) можно определить,
напр., след, образом. Фиксируются (рис., 7) нек-рый большой круг
QQ' (экватор), одна из двух точек пересечения диаметра РР' сферы, перпендикулярного
к плоскости экватора, с поверхностью сферы, напр. Р (п ол ю с), и один
из больших полукругов РАР', выходящих из полюса (нулевой меридиан).
Большие полукруги сферы, выходящие из Р, называются меридианами, малые
её круга, параллельные экватору,- п араллелями. В качестве одной из координат
точки М на сфере принимается угол О = РОМ (полярное расстояние),
в качестве второй - угол ф = AON между нулевым меридианом и меридианом,
проходящим
через точку М (долгота, отсчитываемая против часовой стрелки).

Введение координат на сфере позволяет
проводить исследование сферич. фигур аналитич. методами геометрии. Так,
два ур-ния

или одно ур-ние

между координатами о и ф определяют
нек-рую линию на сфере. Длина L дуги Мэтой
линии вычисляется по формуле

где tи t- значения параметра t, соответствующие концам Mдуги М(рис., 8).

Лит.: Степанов H. H., Сферическая
тригонометрия, 2 изд., Л.- М., 1948; Энциклопедия элементарной математики,
кн. 4, Геометрия, М., 196З.