СФЕРИЧЕСКАЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ

СФЕРИЧЕСКАЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ

математическая дисциплина, изучающая
зависимости между углами и сторонами сферич. треугольников (см.
Сферическая
геометрия). Пусть А, В, С - углы к а, Ь, с
-противолежащие
им стороны сферического треугольника ABC (см. рис.). Углы и стороны
сферич. треугольника связаны след, основными формулами С. т.:

в этих формулах стороны а,
о,
с измеряются соответствующими центральными углами, длины этих сторон
равны соответственно aR, bR, cR, где R - радиус сферы. Меняя
обозначения углов (и сторон) по правилу круговой перестановки: А ->
В -> С -> А (а -> 6 -> c -> а), можно написать другие
формулы С. т., аналогичные указанным. Формулы С. т. позволяют по любым
трём элементам сферич. треугольника определить три остальные (решить треугольник).
Для прямоугольных сферич. треугольников (А = 90°, а - гипотенуза,
Ь,
с -катеты) формулы С. т. упрощаются, напр.:

Для получения формул, связывающих
элементы прямоугольного сферич. треугольника<, можно пользоваться
след, мнемонич. правилом (правилом H е п е р а): если заменить катеты прямоугольного
сферич. треугольника их дополнениями и расположить элементы треугольника
(исключая прямой угол А) по кругу в том порядке, в каком они находятся
в треугольнике (т. е. след, образом: В, а, С, 90° - b, 90°
- c), то косинус каждого элемента равен произведению синусов неприлежащпх
элементов, напр.,

или, после преобразования,

(формула 2'). При решении задач удобны след, формулы Деламбра, связывающие
все шесть элементов сферич. треугольника:

При решении многих задач сферич.
астрономии, в зависимости от требуемой точности, часто оказывается достаточным
использование приближённых формул: для малых сферич. треугольников (т.
е. таких, стороны к-рых малы по сравнению с радиусом сферы) можно
пользоваться формулами плоской тригонометрии; для узких сферич. треугольников
(т. е. таких, у к-рых одна сторона, напр, а, мала по сравнению с
другими) применяют след, формулы:

или более точные формулы:

С. т. возникла значительно раньше
плоской тригонометрии. Свойства прямоугольных сферич. треугольников, выражаемые
формулами (1') - (3'), и различные случаи их решения были
известны ещё греч. учёным Менелаю (1 в.) и Птолемею (2 в.).
Решение косоугольных сферич. треугольников греч. учёные сводили к решению
прямоугольных. Азерб. учёный Насирэддин Туей (13 в.) систематически
рассмотрел все случаи решения косоугольных сферич. треугольников, впервые
указав решение в двух труднейших случаях. Основные формулы косоугольных
сферич. треугольников были, найдены араб, учёным Абу-льВефа (10 в.)
[формула
(1)], нем. математиком И. Региомонтаном (сер. 15 в.)
[формулы
типа (2)], франц. математиком Ф. Виетом (2-я пол. 16 в.) [формулы
типа (2i) ] и Л. Эйлером (Россия, 18 в.)
[формулы типа (3)
и (3i)]. Эйлер (1753 и 1779) дал всю систему формул С. т. Отдельные удобные
для практики формулы С. т. были установлены шотл. математиком Дж. Непером
(кон. 16 -нач. 17 вв.), англ, математиком Г. Бригсом (кон. 16-нач. 17 вв.),
рус. астройомом А. И. Лекселем (2-я пол. 18 в.), франц. астрономом
Ж. Деламбром (кон. 18 - нач. 19 вв.) и др.

Лит. см. при ст. Сферическая
геометрия.