СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ , специальные
функции, применяемые для изучения физич. явлений в пространственных областях,
ограниченных сферич. поверхностями, и для решения физических задач, обладающих
сферич. симметрией. С. ф. являются решениями дифференциального уравнения

получающегося при разделении переменных
в Лапласа уравнении в сферич. координатах r, 9, ф. Общий
вид решения:

где Рn - Лежандра многочлены.

С. ф. можно рассматривать как функции
на поверхности единичной сферы. Функции

образуют полную ортонормированную
систему на сфере, играющую ту же роль в разложении функций на сфере, что
тригонометрич. система функций на окружности. Функции на сфере, не зависящие
от координаты ф, разлагаются по зональным С. ф.:

(q^--1М -точка, в к-рую
переходит точка М сферы при вращении q^-l). Коэффициенты
t¹
(q) являются матричными элементами неприводимого унитарного представления
веса / группы вращения сферы. Их наз. также обобщёнными С. ф. Обобщённые
С. ф. применяются при разложении векторных и тензорных полей на единичной
сфере, решении нек-рых задач теории упругости и т. д. С формулой (1)
связана теорема сложения для зональных С. ф.:

где

cos y=cos o cos o' + sin o
sin o'cos (ф-ф'), у - сферич. расстояние точки (o, ф) от точки (o',
ф').

Характерным примером многочисл. приложений
С. ф. к вопросам математич. физики и механики является применение их в
теории потенциала. Пусть б = б(o, ф) - поверхностная плотность распределения
массы по сфере радиуса R с центром в начале координат; если а можно
разложить в ряд

С. ф. EY(0,
ф), сходящийся равномерно на поверхности сферы, то потенциал, соответствующий
этому распределению масс, в каждой точке (r, o, ф), внешней относительно
данной сферы, равен

а в каждой точке, внутренней по отношению
к сфере, равен

Общий член каждого из этих двух рядов
представляет собой шаровую функцию соответственно степени п -
1
и п.

С. ф. были введены А. Лежандром
и
П. Лапласом в кон. 18 в.

Лит.: Бейтмен Г., Эрдейи А.,
Высшие трансцендентные функции, пер. с англ., т. 1 - 2, М., 1973; Никифоров
А. Ф., Уваров В. Б., Основы теории специальных функций, М., 1974; Г о бс
о н Е. В., Теория сферических и эллипсоидальных функций, пер. с англ.,
М., 1952; Lense J., Kugelfunktionen, 2 Aufl., Lpz., 1954.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я