СХОДИМОСТЬ

СХОДИМОСТЬ математическое
понятие, означающее, что нек-рая переменная величина имеет предел. В
этом смысле говорят о С. последовательности, С. ряда, С. бесконечного произведения,
С. непрерывной дроби, С. интеграла и т. д. Понятие С. возникает, напр.,
когда при изучении того или иного математич. объекта строится последовательность
более простых в известном смысле объектов, приближающихся к данному, т.
е. имеющих его своим пределом (так, для вычисления длины окружности используется
последовательность длин периметров правильных многоугольников, вписанных
в окружность; для вычисления значений функций используются последовательности
частичных сумм рядов, к-рыми представляются данные функции, и т. п.).
С.
последовательности {ап = 1, 2, ..., означает
существование у неё конечного предела

С. ряда

- конечного предела (наз. суммой
ряда) у последовательности его частичных сумм

n = l,2,...;C. бесконечного
произведения bконечного
предела, не равного нулю, у последовательности конечных произведений
р„
= b1, 2,...;

С. интеграла

от функции f(x), интегрируемой
по любому конечному отрезку [а, Ь],- конечного предела у
интегралов при b-> + °°, наз. несобственным интегралом

Свойство С. тех или иных математич.
объектов играет существенную роль как в вопросах теории, так и в приложениях
математики. Напр., часто используется представление каких-либо величин
или функций с помощью сходящихся рядов; так, для основания натуральных
логарифмов е имеется разложение его в сходящийся ряд

для функции sin x - в сходящийся
при всех x ряд

Подобные ряды могут быть использованы
для приближённого вычисления рассматриваемых величин и функций. Для этого
достаточно взять сумму нескольких первых членов, при этом чем больше их
взять, тем с большей точностью будет получено нужное значение. Для одних
и тех же величин и функций имеются различные ряды, суммой к-рых они являются,
напр.,

При практич. вычислениях в целях
экономии числа операций (а следовательно, экономии времени и уменьшения
накопления ошибок) целесообразно из имеющихся рядов выбрать ряд,
к-рый сходится "более быстро". Если даны два сходящихся ряда

= и+ и..., pVих
остатки, то 1-й ряд наз. сходящимся быстрее 2-го ряда,

Используются и другие понятия "более
быстро" сходящихся рядов. Существуют различные методы улучшения С. рядов,
т. е. методы, позволяющие преобразовать данный ряд в "более быстро" сходящийся.
Аналогично случаю рядов вводится понятие "более быстрой" С. и для несобственных
интегралов, для к-рых также имеются способы улучшения их С.

Большую роль понятие С. играет при
решении всевозможных уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных),
в частности при нахождении их численных приближённых решений. Напр., с
помощью последовательных приближений метода можно получить
последовательность функций, сходящихся к соответствующему решению данного
обыкновенного дифференциального уравнения, и тем самым одновременно доказать
существование при определённых условиях решения и дать метод, позволяющий
вычислить это решение с нужной точностью. Как для обыкновенных дифференциальных
уравнений, так и уравнений с частными производными существует хорошо разработанная
теория различных сходящихся конечноразностных методов их численного решения
(см. Сеток метод). Для практич. нахождения приближённых решений
уравнений широко используются ЭВМ.

Если изображать члены апоследовательности
{ак а означает, что расстояние между точками
aа становится и остаётся сколь угодно малым с возрастанием п.
В этой формулировке понятие С. обобщается на последовательности точек
плоскости, пространства и более общих объектов, для к-рых может быть определено
понятие расстояния, обладающее обычными свойствами расстояния между точками
пространства (напр., на последовательности векторов, матриц, функций, геометрич.
фигур и т. д., см. Метрическое пространство). Если последовательность
{асходится к а, то вне любой окрестности точки а
лежит лишь конечное число членов последовательности. В этой формулировке
понятие С. допускает обобщение на совокупности величин ещё более общей
природы, в к-рых тем или иным образом введено понятие окрестности (см.
Топологическое пространство).

то говорят о С. в каждой точке [если
это равенство не имеет места лишь для точек, образующих множество меры
нуль (см. Мера множества), то говорят о С. почти всюду]. Несмотря
на свою естественность, понятие С. в каждой точке обладает многими нежелательными
особенностями [напр., последовательность непрерывных функций может сходиться
в каждой точке к разрывной функции; из С. функций fn(x) к f(x)
в
каждой точке не следует, вообще говоря, С. интегралов от функций
fx)
к интегралу от f(x) и т. д.]. В связи с этим было введено
понятие равномерной С., свободное от этих недостатков: последовательность
{f)} наз. равномерно сходящейся к f(x) на
множестве М, если

Этот вид С. соответствует определению
расстояния между функциями f(x) и <р(х) по формуле

Д. Ф. Егоров доказал, что
если последовательность измеримых функций сходится почти всюду на множестве
М,
то из М можно так удалить часть сколь угодно малой меры, чтобы
на оставшейся части имела место равномерная С.

В теории интегральных уравнений,
ортогональных рядов и т. д. широко применяется понятие средней квадратической
С.: последовательность {f,,(x)} сходится на отрезке [а, Ь]
в
среднем квадратическом к f(x), если

Более общо, последовательность {fx)}
сходится в среднем с показателем р к f(x), если

Эта С. соответствует заданию расстояния
между функциями по формуле

Из равномерной С. на конечном отрезке
вытекает С. в среднем с любым показателем р. Последовательность
частичных сумм разложения функции (p(x) с интегрируемым квадратом
по нормированной ортогональной системе функций может расходиться
в каждой точке, но такая последовательность всегда сходится к <p(x)
в
среднем квадратическом. Рассматриваются также другие виды С. Напр., С.
по мере: для любого е>0 мера множества тех точек, для к-рых

|fx) -
f(x)
|<е,

стремится к нулю с возрастанием n;
слабая С.:

для любой функции tp(x) с
интегрируемым квадратом (напр., последовательность функций sinx,
sin2x, ..., sinrex, ... слабо сходится к нулю на отрезке
[-п, я], так как для любой функции <p(x) с интегрируемым
квадратом коэффициенты ряда Фурье стремятся к нулю).

Указанные выше и многие другие понятия
С. последовательности функций систематически изучаются в функциональном
анализе, где рассматриваются различные линейные пространства с заданной
нормой (расстоянием до нуля) -т. н. банаховы пространства. В таких
пространствах можно ввести понятия С. функционалов, операторов и т. д.,
определяя для них соответствующим образом норму. Наряду со С. по норме
(т. н. сильной С.), в банаховых пространствах рассматривается слабая
С., определяемая условием для всех линейных функционалов;

введённая выше слабая С. функций
соответствует рассмотрению нормы

В современной математике рассматривается
также С. по частично упорядоченным множествам (см. Упорядоченные и частично
упорядоченные множества).

В теории вероятностей для последовательности
случайных величин употребляются понятия С. с вероятностью 1 и С. по вероятности.

Ещё математики древности (Евклид,
Архимед) по существу употребляли бесконечные ряды для нахождения
площадей и объёмов. Доказательством С. рядов им служили вполне строгие
рассуждения по схеме исчерпывания метода. Термин "С." в применении
к рядам был введён в 1668 Дж. Грегори при исследовании нек-рых способов
вычисления площади круга и гиперболич. сектора. Математики 17 в. обычно
имели ясное представление о С. употребляемых ими рядов, хотя и не проводили
строгих с современной точки зрения доказательств С. В 18 в. широко распространилось
употребление в анализе заведомо расходящихся рядов (в частности, их широко
применял Л. Эйлер). Это, с одной стороны, привел о впоследствии
ко многим недоразумениям и ошибкам, устранённым лишь с развитием отчётливой
теории С., а с другой -предвосхитило современную теорию суммирования
расходящихся
рядов. Строгие методы исследования С. рядов были разработаны в 19 в. (О.
Коши, H. Абель. К. Вейерштрасс, Б. Больцано
и
др.). Понятие равномерной С. было введено Дж. Стоксом.
Дальнейшие расширения понятия С. были связаны с развитием теории функций,
функционального анализа и топологии.

Лит.: Ильин В. А., П о з н
я к Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., т. 1 - 2, М., 1971 -
73; К у д р я в ц е в Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1 - 2, М.,
1970; Никольский С. М., Курс математического анализа, т. 1 - 2, М., 1973.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я