СЧИСЛЕНИЕ

СЧИСЛЕНИЕ нумерация, совокупность
приёмов наименования и обозначения чисел. Наиболее совершенным принципом
представления чисел является позиционный (поместный) принцип, согласно
к-рому один и тот же числовой знак (цифра) имеет различные значения
в зависимости от того места, где он расположен. Такая система С. основывается
на том, что нек-рое число п единиц (основание системы С.) объединяется
в одну единицу второго разряда, n единиц второго разряда объединяются
в одну единицу третьего разряда и т. д. Основанием системы С. может быть
любое число, большее единицы. К числу таких систем относится современная
десятичная система С. (с основанием п = 10). В ней для обозначения
первых десяти чисел, служат цифры 0, 1,..., 9 (см. Десятичная система
счисления).

Несмотря на кажущуюся естественность
такой системы С., она явилась результатом длительного историч. развития.
Возникновение десятичной системы С. связано со счётом на пальцах. Имелисьсистемы
С. и с другим основанием: 5, 12 (счёт дюжинами), 20 (следы такой
системы сохранились во франц. языке, напр, quatre-vingts, т. е. буквальночетыре-двадцать,
означает 80), 40, 60 и др. При научных исследованиях и при вычислениях
на современных вычислит, машинах часто применяется система С. с основанием
2 (см. Двоичная система счисления).

У первобытных народов не существовало
развитой системы С. Ещё в 19 в. у многих племён Австралии и Полинезии было
только два числительных: один и два; сочетания их образовывали числа! 3
- два-один, 4 - два-два, 5 - два-дваодин и 6 - два-два-два. О всех числах<,
больших
6, говорили: "много", не индивидуализируя их. С развитием общественнохозяйственной
жизни возникла потребность в создании систем С., к-рые позволили бы считать
и обозначать всё большие совокупности предметов. Одной из наиболее древних
систем С. является египетская иероглифич. нумерация, возникшая ещё за 2500-3000
лет до н. э. Это была десятичная непозиционная система С., в к-рой для
записи чисел применялся только принцип сложения (числа, выраженные рядом
стоящими цифрами, складываются). Специальные знаки имелись

для единицы

,

десяти

,

ста

и других десятичных разрядов 10⁷.
Число 343 записывалось так

.

Аналогичными системами С. были греческая
геродианова, римская (см. Римские цифры), сирийская и др. Более
совершенными системами С. являются алфавитные: ионийская, славянская
(см. Славянские цифры), еврейская, арабская, а также грузинская
и армянская. Первой алфавитной системой С. была, по-видимому, ионийская,
возникшая в греч. колониях в Малой Азии в сер. 5 в. до н. э. В алфавитных
системах С. числа от 1 до 9, а также все десятки и сотни обозначаются,
как правило, последовательными буквами алфавита (над к-рыми иногда ставятся
чёрточки, чтобы отличить записи чисел от слов). Число 343 в ионийской
системе записывалось так:
(здесь

- 300,-
40,- 3),

в славянской:

В алфавитных системах С. запись чисел
гораздо короче, чем в предыдущих; кроме того, над числами, записанными
в алфавитной нумерации, гораздо легче производить арифметич. действия.
Однако в алфавитных системах С. нельзя записывать сколь угодно большие
числа. Греки расширили ионийскую нумерацию: числа 1000, 2000, ..., 9000
они обозначали теми же буквами, что и 1, 2, ..., 9, но ставили штрих внизу
слева: так, означала 1000,-
2000 и т. д.

а

Для 10 000 был введён новый знак
М. Тем не менее ионийская система С. оказалась непригодной уже для астрономич.
вычислений эпохи эллинизма, и греч. астрономы этого времени стали комбинировать
алфавитную систему с шестидесятеричной вавилонской - первой известной нам
системой С., основанной на позиционном принципе. В системе С. древних вавилонян,
возникшей примерно за 2000 лет до н. э., все числа записывались
с помощью двух знаков: j (для единицы) и < (для десяти). Числа
до 60 записывались как комбинация этих двух знаков с применением принципа
сложения. Число 60 снова обозначалось знаком Т, являясь единицей
высшего разряда. Для записи чисел от 60 до 3600 вновь применялся принцип
сложения, а число 36 000 обозначалось тем же знаком, что и единица, и т.
д. Число 343 = 5 -60 + + 4-10 + 3 в этой системе записывалось так:
. Однако в силу отсутствия знака для нуля, к-рым можно было бы отмечать
недостающие разряды, запись чисел в этой системе С. не была однозначной
(см. Клинописные математические тексты). Другая система С., основанная
на позиционном принципе, возникла у индейцев майя, обитателей полуострова
Юкатан (Центральная Америка) в середине 1-го тысячелетия н. э. У майя существовали
две системы С.: одна, напоминающая египетскую, употреблялась в повседневной
жизни, другая - позиционная, с основанием 20 и особым знаком для нуля,
применялась при календарных расчётах. Запись в этой системе, как и в нашей
современной, носила абсолютный характер.

Современная десятичная позиционная
система С. возникла на основе нумерации, зародившейся не позднее 5 в. в
Индии. До этого в Индии имелись системы С., в к-рых применялся не только
принцип сложения, но и принцип умножения (единица к.-н. разряда умножается
на стоящее слева число). Аналогично строились старокитайская система С.
и нек-рые др. Если, напр., условно обозначить число 3 символом III, а число
10 символом X, то число 30 запишется как IIIX (три десятка). Такие
системы С. могли служить подходом к созданию десятичней позиционной нумерации.

Десятичная позиционная система С.
даёт принципиальную возможность записывать сколь угодно большие числа.
Запись чисел в ней компактна и удобна для производства арифметич. операций.
Поэтому вскоре после возникновения десятичная позиционная система С. начинает
распространяться из Индии на Запад и Восток. В 9 в. появляются рукописи
на арабском языке, в к-рых излагается эта система С., в 10 в. десятичная
позиционная нумерация доходит до Испании, в начале 12 в. она появляется
и в других странах Европы. Новая система С. получила- название арабской,
потому что в Европе с ней познакомились впервые по латинским переводам
с арабского. Только в 16 в. новая нумерация получила широкое распространение
в науке и в житейском обиходе. В России она начинает распространяться в
17 в. и в самом начале 18 в. вытесняет алфавитную. С введением десятичных
дробей десятичная позиционная система С. стала универсальным средством
для записи всех действительных чисел.

Лит.: К э д ж о р и Ф., История
элементарной математики с указаниями на методы преподавания, пер. с англ.,
2 изд., Од., 1917; Л е ф ф л е р Е., Цифры и цифровые системы культурных
народов в древности и в новое время, пер. с нем., Од., 1913; Выгодский
М. Я., Арифметика и алгебра в древнем мире, 2 изд., М., 1967; Башмакова
И. Г. и Юшкевич А. П., Происхождение систем счисления, в кн.: Энциклопедия
элементарной математики, кн. 1, М.- Л., 1951. И. Г. Башмакова.