ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ математическая
теория, изучающая величины особого рода - тензоры, их свойства и правила
действий над ними. Т. и. является развитием и обобщением векторного
исчисления и теории матриц. Т. и. широко применяется в дифференциальной
геометрии, теории римановых пространств, теории относительности, механике,
электродинамике и других областях науки.

Для описания многих физич. и геометрич.
фактов обычно вводится та или иная система координат, что позволяет описывать
различные объекты при помощи одного или нескольких чисел, а соотношения
между объектами - равенствами, связывающими эти числа или системы чисел.
Нек-рые из величин, называемые скалярными (масса, температура и т. д.),
описываются одним числом, причём значение этих величин не изменяется при
переходе от одной системы координат к другой (мы рассматриваем здесь физич.
явления с точки зрения классич. физики). Другие величины - векторные (сила,
скорость и т. д.), описываются тремя числами (компонентами вектора), причём
при переходе от одной системы координат к другой компоненты вектора преобразуются
по определённому закону. Наряду со скалярными и векторными величинами встречаются
во многих вопросах физики и геометрии величины более сложного строения.
Эти величины, называемые тензорными, описываются в каждой системе координат
несколькими числами (компонентами тензора), причём закон преобразования
этих чисел при переходе от одной системы координат к другой более сложен,
чем для векторов (точные определения будут даны ниже). При введении
координатной системы, помимо чисел, описывающих сам объект или физич.
явление,
появляются числа, описывающие его связь с выбранной системой координат.
Рассмотрим,
напр., совокупность чисел Ju (i=1,2,3),
где Ji.- осевой момент инерции твёрдого тела относительно
оси xt, a Jij (при
г тj) - центробежные моменты инерции,
взятые с обратным знаком. При переходе от одной системы координат к другой
осевой момент инерции J.. меняется (так как меняется положение оси xотносительно
тела), а потому
Ju не может рассматриваться как физич. величина,
имеющая независимый от выбора системы координат смысл. Это находит своё
выражение, напр., в том, что знание ]ц в одной системе координат
не позволяет найти
Jn в другой системе координат. В то же время
совокупность всех чисел
Ju имеет смысл, независимый от выбора координатной
системы. Знание всех чисел Ju в одной системе прямоугольных координат
позволяет найти их в любой другой системе прямоугольных координат по формуле

(a^rи
a^sопущен знак суммы и считается, что если один и тот же индекс встречается
дважды (один раз наверху, а другой раз внизу), то по нему производится
суммирование, причём этот индекс принимает все возможные для него значения
(в приведённом примере- значения 1, 2, 3). Т. и., как и векторное исчисление,
является математич. аппаратом, при к-ром исключается влияние выбора координатной
системы. Это достигается тем, что задание компонент тензора в какой-либо
системе координат определяет их во всех других системах координат. В Т.
и. указываются методы получения соотношений между тензорами и функций от
компонент тензоров, не меняющихся при переходе от одной системы координат
к другой (инвариантных соотношений и инвариантов).

Т. о., одной из основных задач Т.
и. является нахождение аналитич. формулировок законов механики, геометрии,
физики, не зависящих от выбора координатной системы.

1. Тензоры в прямоугольных координатах.
Величины, к-рые в каждой системе прямоугольных координат задаются в 3-мерном
пространстве 3^k числами Рiи (i- 1,2,3) и при замене системы координат (xx) системой (x , xxзаменяются числами

Pпо
формулам:

где а^j(xx), наз. тензорными величинами, а определяющие их системы
чисел - тензорами в прямоугольных координатах (иногда тензорами называют
также и сами тензорные величины). Число k называется в алентностью
(рангом) тензора, числа рi....i(координатами). Аналогичным об" разом определяются тензоры в пространстве
любого числа измерений.

Примеры тензоров: если координаты
ректора а обозначить а. (i = 1, 2, 3), то

числа а. образуют тензор первой
валентности. Любым двум векторам а = {а.} и b = {bсоответствует тензор с компонентами p= aЭтот
тензор называется диадой. Если fl(x, xxвекторное
поле, то каждой точке этого поля соответствует тензор с компонентами
Он называется производной



вектора а = {а,} по
вектору r {x,xx}
(обозначается также через -gj). Упомянутая выше совокупность чисел
Ju
образует
тензор второй валентности (тензор инерции).

2. Тензоры второй валентности. В
приложениях Т. и. к механике, кроме тензоров первой валентности (векторов),
чаще всего встречаются тензоры второй валентности.

Если рто
тензор называется симметрическим, а если рц = -рц, то - кососимметрическим
(антисимметрическим). Симметрич. тензор имеет шесть существенных
компонент, а кососимметрический -три: wр; wр= рр (р
= р Р= 0). При этом компоненты
coi, co(см. Осевой вектор). Вообще псевдовекторы (угловую скорость, векторное
произведение двух векторов и др.) можно рассматривать как кососимметрич.
тензоры второй валентности. Далее, если в любой системе координат принять
рц
= рр = 1 p0, i<>j, то получится тензор, называемый единичным тензором. Компоненты
этого тензора обозначаются при помощи Кронекера символа б;.
Тензоры инерции, напряжения, единичный тензор - симметрические. Всякий
тензор единственным образом разлагается на сумму симметрич. и кососимметрич.
тензоров. Если а(г) - вектор смещения частиц упругого тела при малой
деформации, то симметрич. часть называется тензором деформации; кососимметрич.
часть соответствует псевдовектору rota (см. Вихрь векторного поля),

Тензор da/dr является симметрическим
только в том случае, когда поле а(г) потенциально (см. Потенциальное
поле).



da/dr Разложение тензора
da/dr на симметрич. и кососимметрич. части соответствует разложению
относительного смещения da на чистую деформацию и на поворот тела
как целого.

Инвариантами тензора называются функции
от его компонент, не зависящие от выбора координатной системы. Примером
инварианта является след тензора р+ рТак, для тензора инерции он равен удвоенному полярному
моменту инерции относительно на чала координат, для тензора da/dr -
дивергенции векторного поля а(г) и т. д.

3. Тензоры в аффинных координатах.
Для многих задач приходится рассматривать тензорные величины в аффинных
координатах (косоугольных координатах с различными единицами длины по разным
осям). Положение одной аффинной системы координат относительно другой может
быть описано двумя различными системами чисел: числами А¹j
равными
компонентам векторов е' нового базиса относительно векторов
ei
старого
базиса, и числами B'равными компонентам векторов
а
относительно базиса е'. . В соответствии с этим бывают тензоры
различного вида: в законы преобразования одних из них входят числа
А'.
, а в законы преобразования других -числа В^!. Встречаются и тензоры, в законы преобразования к-рых входят как числа
Л' , так и числа В¹. . Тензоры первого вида называются
ковариантными, второго - контравариантными и третьего - смешанными тензорами.
Более точно, (r + 5)-валентным смешанным тензором s раз ковариантным
и r раз контравариантным называют совокупность 3^r+s чисел
рА-/, заданную в каждой системе аффинных координат и преобразующуюся при
переходе от одной системы координат к другой по формулам:

При рассмотрении прямоугольных координат
не приходится различать ковариантные (нижние) и контравариантные
(верхние) индексы тензора, т. к. для двух таких систем координат
АⁱВj=eiej Коэффициенты уравнения поверхности второго порядка pxⁱx^j
= l образуют ковариантный тензор валентности 2, а элементы рⁱ.
матрицы линейного преобразования - тензор, 1 раз ковариантный и 1 раз контравариантный.
Система трёх чисел x¹, x², x³, преобразующихся
как координаты вектора x-x'ei, образует 1 раз контравариантный тензор,
а система чисел, преобразующихся как скалярное произведение x = xei,
образует
1 раз ковариантный тензор. Относительно преобразования аффинных координат
символ Кронекера 6ⁱ является смешанным тензором (поэтому, в
отличие от пункта 2, здесь пишут один индекс сверху, другой - снизу).
Совокупность чисел дц = е.е,, где а - векторы базиса, образует
тензор, называемый ковариантным метрич. тензором. Длина любого вектора
пространства x = xⁱei равна

а скалярное произведение двух векторов
x
и
у
равно дijх'у'. Совокупность величин g^ijтаких,
что g^ij gir = 6ⁱ , образует тензор, к-рый
называется контравариантным метрич. тензором.

Дословно, так же как и в трёхмерном
пространстве, определяются тензоры в n-мерном пространстве. Важным
примером тензоров в n-мерном пространстве являются совокупности
компонент noлиеекторов.

Порядок следования индексов существенным
образом входит в определение тензора, т. е. при перестановке индексов компоненты
тензора, вообще говоря, меняются. Тензор называется симметрическим по данной
совокупности индексов (одного и того же уровня), если при перестановке
любых двух индексов этой совокупности он не меняется. Если же при такой
перестановке компоненты тензора меняют знак, то он называется кососимметрическим
по этой совокупности индексов. В более общем смысле условием симметрии
тензора называют любую инвариантную линейную зависимость между его компонентами.

4. Действия над тензорами. Существуют
четыре основные операции над тензорами: сложение тензоров, умножение тензоров,
свёртывание тензоров по двум или более индексам и перестановка индексов
тензора. Так как тензор задаётся своими компонентами в различных системах
координат, то действия над тензорами задаются формулами, выражающими в
каждой системе координат компоненты результата действия через компоненты
тензоров, над к-рыми производятся действия. При этом формулы должны быть
такими, чтобы в результате выполнения действия получился тензор.

а) Сложение тензоров. Суммой
двух тензоров одинакового строения (т. е. имеющиходинаковое число верхних
и нижних индексов) называется тензор с компонентами

система координат, то тензорное поле
Т(Р)
можно
рассматривать как совокупность функций ti(x¹,
x²,
x³),
заданных в каждой точке PCx¹,
x², x³)
области
и преобразующихся при переходе от одной системы прямоугольных координат
к другой по формулам вида (1). В этом случае частные производные
компонент тензора по координатам

образуют также тензор, валентность
к-рого на единицу выше валентности исходного тензора. Напр., при дифференцировании
скалярного поля получается поле градиента, при дифференцировании поля градиента
- поле симметрия. тензора второй валентности: и т. д.

В тензорном анализе



рассматриваются не только прямоугольные
или аффинные, но и произвольные (достаточное число раз дифференцируемые)
криволинейные
координаты x'. В окрестности каждой точки эти координаты можно заменить
аффинными координатами. В качестве базисных векторов этих аффинных координат
надо взять частные производные

радиус-вектора r в точке Р. Тогда
скалярные произведения е.е. будут равны значениям компонент метрич. тензора
дц
в
точке Р, с помощью к-рого длина бесконечно малого вектора PQ,
P(x'), Q(xⁱ + dx') выражается формулой ds¹
= gijdx'dx'. Поэтому метрика в криволинейной и прямолинейной системах
координат совпадает с точностью до бесконечно малых высшего порядка. Тем
самым в каждой точке пространства вводится своя (локальная) система
аффинных координат, относительно к-рой и задаются компоненты тензорного
поля в этой точке. При переходе от одной системы криволинейных координат
(x; ...,xⁿ) к другой (у'..., уⁿ)
локальная
система координат в каждой точке меняется, причём базисные векторы преобразуются
по формулам

Иными словами, коэффициенты линейного
преобразования A'будут различными в разных точках и
равны

точно так жематрица B'состоит
из выражений

Поэтому тензорным полем относительно
криволинейных координат называют совокупность функций tJ¹...i>
заданных в каждой точке области для системы криволинейных координат и преобразующихся
при переходе от одной системы криволинейных координат к другой по формулам
(2), где положено

<,

В рассматриваемом случае частные
производные компонент поля по координатам x' уже не образуют тензорного
поля. Это объясняется тем, что при переходе от одной точки к другой изменяются
не только компоненты тензора, но и локальная координатная система, к к-рой
этот тензор относится. Поэтому при определении изменения тензора надо учитывать
не только изменение компонент тензора при переходе от точки P(x')
к бесконечно близкой ей точке Q(x' + dx'), но и изменение
локальной координатной системы. Иными словами, компоненты приращения
тензора нельзя считать равными приращениям его компонент. Напр.,
для векторных полей м(Р), где и< имеет контравариантные компоненты
и;
приращение векторного поля равно (с точностью до бесконечно малых высшего
порядка) выражению

Здесь через Г¹

обозначены т. н. символы Кристоффеля
(см. Кристоффеля символ), связанные с метрич. тензором gij соотношением

Отметим, что сами символы Кристоффеля
не являются тензорами. Слагаемое du' учитывает зависимость компонент
приращения тензора от приращения его компонент, а слагаемое Г¹u^kdx^r
- зависимость компонент приращения тензора от изменения системы координат
при переходе от точки к точке. Вектор Du¹ называется
ковариантным (или абсолютным) дифференциалом векторного поля м(Р), а совокупность
величин

- ковариантной (или абсолютной) производной
этого поля. Аналогично этому ковариантная производная ковариантного векторного
поля равна

Для тензорного поля t.ьс(Р) ковариантная
производная определяется формулой:

Ковариантная производная тензорного
поля образует тензорное поле, имеющее на одну ковариантную валентность
больше, чем исходное поле. В частном случае, когда криволинейные координаты
являются прямоугольными, ковариантное дифференцирование тензорных полей
переходит в обычное, т. е. в операцию образования поля

В этом случаесимволы Кристоффеля
равны нулю. Правила ковариантного дифференцирования (для суммы и произведения
тензоров) совпадают с правилами обычного дифференцирования. Ковариантное
дифференцирование перестановочно со свёртыванием. Имеет место также теорема
о перестановке порядка ковариантного дифференцирования, т. е.



Отметим, что ковариантная производная
метрич. тензора gtk равна нулю.

Историческая справка. Возникновение
Т. и. было подготовлено в 19 в. развитием теории алгебраич. форм, с одной
стороны, и теории квадратичных дифференциальных форм - с другой.
Исследования в области теории дифференциальных квадратичных форм были непосредственно
связаны с дифференциальной геометрией: с геометрией поверхностей (К. Гаусс)
и
с геометрией многомерного метрич. пространства (Б. Риман). Современную
форму Т. и. придал итал. математик Г. Риччи-Курбастро, поэтому Т. и. иногда
называется исчислением Риччи. Идеи Риччи-Курбастро первоначально не получили
широкого распространения. Внимание к ним возросло после появления (1915-16)
общей
теории относительности А. Эйнштейна, математич. часть к-рой целиком
основана на Т. и.

б) Умножение тензоров. Произведением
двух тензоров



(быть может различного строения)
называется
тензор с компонентами

Произведение тензоров, вообще говоря,
зависит от порядка сомножителей. Если один из тензоров имеет нулевую валентность
(т. е. является скалярной величиной

),

то умножение его на другой тензор



сводится к умножению всех компонент
тензора на число

в) Свёртывание тензора.
Результатом свёртывания тензора



по индексам and (верхнему
и нижнему) называется тензор



компоненты к-рого

равны



(здесь производится суммирование
по индексу г')- Напр., след матрицы p'является
результатом свёртывания её по индексам i и ;; бискалярное произведение
р¹.
q'тензоров р' и q'равно результату
свёртывания их произведения по всем индексам. При полном свёртывании
тензора (по всем индексам) получается инвариант.

r) Перестановка индексов.

Пусть компоненты тензора



выражаются через компоненты тензора



формулой



Тогда говорят, что

получился из



перестановкой индексов сdе. При
этом переставляться когут только индексы одного и того же уровня.

Лит.: К о ч и н H. Е., Векторное
исчисление и начала тензорного исчисления, 9 изд., М., 1965; Рашевский
П. К., Рнманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; Схоутен
Я. А., Тензорный анализ для физиков, пер. с англ., М., 1965; М а кКоннел
А. - Д., Введение в тензорный анализ, пер. с англ., М., 1963; Сокольников
И. С., Тензорный анализ, пер. с англ., М., 1971.

По материалам одноимённой статьи
из 2-го изд. БСЭ.