ТОЖДЕСТВО
осн. понятие логики,
философии и математики; используется в языках науч. теорий для формулировки
определяющих соотношений, законов и теорем.
В математике Т.- это уравнение,
к-рое
удовлетворяется тождественно, т. е. справедливо для любых допустимых значений
входящих в него переменных. С логич. точки зрения, Т.- это предикат,
изображаемый
формулой х = у (читается: "х тождественно
у", "х
то же самое, что и у"), к-рому соответствует логич. функция, истинная,
когда переменные х и у означают различные вхождения "одного
и того же" предмета, и ложная в противном случае. С философской (гносеологической)
точки зрения, Т.- это отношение, основанное на представлениях или
суждениях о том, что такое "один и тот же" предмет реальности, восприятия,
мысли.
Логич. и филос. аспекты Т. дополнительны:
первый даёт формальную модель понятия Т., второй - основания для применения
этой модели. Первый аспект включает понятие об ч одном и том же" предмете,
но смысл формальной модели не зависит от содержания этого понятия: игнорируются
процедуры отождествлений и зависимость результатов отождествлений от условий
или способов отождествлений, от явно или неявно принимаемых при этом абстракций.
Во втором (философском) аспекте рассмотрения основания для применения логич.
моделей Т. связываются с тем, как отождествляются предметы, по каким признакам,
и уже зависят от точки зрения, от условий и средств отождествления.
Различение логич. и филос. аспектов
Т. восходит к известному положению, что суждение о тождественности
предметов и Т. как понятие - это не одно и то же (см. Платон, Соч., т.
2, М., 1970, с. 36). Существенно, однако, подчеркнуть независимость и непротиворечивость
этих аспектов: понятие Т. исчерпывается смыслом соответствующей ему логич.
функции; оно не выводится из фактической тождественности предметов, "не
извлекается" из неё, а является абстракцией, восполняемой в "подходящих"
условиях опыта или, в теории,- путём предположений (гипотез) о фактически
допустимых отождествлениях; вместе с тем, при выполнении подстановочности
(См. ниже аксиому 4) в соответствующем интервале абстракции отождествления,
"внутри" этого интервала, фактич. Т. предметов в точности совпадает с Т.
в логич. смысле.
Важность понятия Т. обусловила потребность
в спец. теориях Т. Самый распространённый способ построения этих теорий
- аксиоматический. В качестве аксиом можно указать, напр., следующие (не
обязательно все):
где А(х) - произвольный предикат,
содержащий х свободно и свободный для у, а А(х) и
А(у)
различаются только вхождениями (хотя бы одним) переменных х
и
у.
Аксиома 1 постулирует свойство рефлексивности
Т. В традиц. логике она считалась единственным логическим законом Т.,
к к-рому в качестве "нелогических постулатов" добавляли обычно (в арифметике,
алгебре, геометрии) аксиомы 2 и 3. Аксиому 1 можно считать гносеологически
обоснованной, поскольку она является своего рода логич. выражением индивидуации,
на к-рой, в свою очередь, основывается "данность" предметов в опыте, возможность
их узнавания: чтобы говорить о предмете "как данном", необходимо как-то
выделить его, отличить от др. предметов и в дальнейшем не путать с ними.
В этом смысле Т., основанное на аксиоме 1, является особым отношением "самотождественности",
к-рое связывает каждый предмет только с самим собой - и ни с каким др.
предметом.
Аксиома 2 постулирует свойство симметричности
Т. Она утверждает независимость результата отождествления от порядка в
парах отождествляемых предметов. Эта аксиома также имеет известное оправдание
в опыте. Напр., порядок расположения гирь и товара на весах различен, если
смотреть слева направо, для покупателя и продавца, обращённых лицом друг
к другу, но результат - в данном случае равновесие - один и тот же для
обоих.
Аксиомы 1 и 2 совместно служат абстрактным
выражением Т. как неразличимости, теории, в к-рой представление об "одном
и том же" предмете основывается на фактах ненаблюдаемости различий и существенно
зависит от критериев различимости, от средств (приборов), отличающих один
предмет от другого, в конечном счёте - от абстракции неразличимости. Поскольку
зависимость от "порога различимости" на практике принципиально неустранима,
представление о Т., удовлетворяющем аксиомам 1 и 2, является единственным
естественным результатом, к-рый можно получить в эксперименте.
Аксиома 3 постулирует транзитивность
Т. Она утверждает, что суперпозиция Т. также есть Т. и является первым
нетривиальным утверждением о тождественности предметов. Транзитивность
Т.- это либо "идеализация опыта" в условиях "убывающей точности", либо
абстракция, восполняющая опыт и "создающая" новый, отличный от неразличимости,
смысл Т.: неразличимость гарантирует только Т. в интервале абстракции неразличимости,
а эта последняя не связана с выполнением аксиомы 3. Аксиомы 1, 2 и 3 совместно
служат абстрактным выражением теории Т. как эквивалентности.
Аксиома 4 постулирует необходимым условием
для Т. предметов совпадение их признаков. С логич. точки зрения, эта аксиома
очевидна: "одному и тому же" предмету принадлежат все его признаки. Но
поскольку представление об "одном и том же" предмете неизбежно основывается
на определённого рода допущениях или абстракциях, эта аксиома не является
тривиальной. Её нельзя верифицировать "вообще" - по всем мыслимым признакам,
а только в определённых фиксированных интервалах абстракций отождествления
или неразличимости. Именно так она и используется на практике: предметы
сравниваются и отождествляются не по всем мыслимым признакам, а только
по нек-рым - основным (исходным ) признакам той теории, в к-рой хотят иметь
понятие об "одном и том же" предмете, основанное на этих признаках и на
аксиоме 4. В этих случаях схема аксиом 4 заменяется конечным списком её
аллоформ - конгруентных ей "содержательных" аксиом Т. Напр., в аксиоматической
теории множеств Цермело - Френкеля - аксиомами:
определяющими, при условии, что универсум
содержит только множества, интервал абстракции отождествления множеств
по "членству в них" и по их "собственному членству", с обязательным добавлением
аксиом 1-3, определяющих Т. как эквивалентность.
Перечисленные выше аксиомы 1-4 относятся
к т. н. законам Т. Из них, используя правила логики, можно вывести и многие
др. законы, неизвестные в доматематической логике. Различие между логич.
и гносеологич. (философским) аспектами Т. не имеет значения, коль скоро
речь идёт об общих абстрактных формулировках законов Т. Дело, однако, существенно
меняется, когда эти законы используются для описания реалий. Определяя
понятие "один и тот же" предмет, аксиоматики Т. необходимо влияют на формирование
универсума "внутри" соответствующей аксиоматической теории.
Лит.: Тарский А., Введение в
логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948; Новоселов
М., Тождество, в кн.: Философская энциклопедия, т. 5, М., 1970; его же,
О некоторых понятиях теории отношений, в кн.: Кибернетика и современное
научное познание, М., 1976; Шрейдер Ю. А., Равенство, сходство, порядок,
М., 1971; Клини С. К., Математическая логика, пер. с англ., М., 1973; Frege
G., Schriften zur Logik, В., 1973. М. М. Новосёлов.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я