ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО
множество,
состоящее из элементов любой природы, в к-ром тем или иным способом определены
предельные соотношения. Предельные соотношения, наличие к-рых превращает
данное множество X в топологич. пространство, состоят в том, что для каждого
подмножества А множества X определено его замыкание, т. е.
множество [А], состоящее из всех элементов множества Л и из предельных
точек этого множества (если какое-либо множество является Т. п., то
его элементы, независимо от их действит. природы, принято наз. точками
данного Т. п.). "Ввести в данное множество X топологию",
или "превратить данное множество X в Т. п.",- это значит тем или
иным способом указать замыкание [А] для каждого подмножества А множества
X.
Точки
множества [А] наз. точками прикосновения множества
А.
Каждое метрическое пространство
может
быть естественным образом превращено в Т. п., поэтому говорят (допуская
некоторую неточность), что метрическое пространство является частным
случаем топологического. В частности, числовая прямая, евклидово пространство
любого числа измерений, различные функциональные пространства могут служить
примерами метрических и, следовательно, топологич. пространств. Существует
много способов вводить в данное множество X топологию, т. е. превращать
его в Т. п.; напр., в случае метрич. пространств топология вводится посредством
вспомогательного понятия расстояния. В очень многих случаях топология
в данное множество X вводится посредством окрестностей: для каждого элемента
(для каждой "точки") множества X нек-рые подмножества множества
X
выделяются в качестве окрестностей данной точки. В предположении, что
окрестности определены, точка x объявляется точкой прикосновения
множества А, если каждая окрестность этой точки содержит хотя бы
одну точку множества А. См. также ст. Топология
и литературу
при ней.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я