ТОПОЛОГИЯ.

ТОПОЛОГИЯ. Содержание:

1. Общая топология

2. Равномерная топология

3. Алгебраическая топология

4. Кусочно-линейная топология

5. Топология многообразий

6. Основные этапы развития топологии.
Топология (от греч. topos - место и ... логия) - часть геометрии,
посвящённая изучению феномена непрерывности (выражающегося, напр., в понятии
предела). Разнообразие проявлений непрерывности в математике и широкий
спектр различных подходов к её изучению привели к распадению единой Т.
на ряд отделов ("общая Т.", "алгебраич. Т." и др.), отличающихся
друг от друга по предмету и методу изучения и фактически весьма мало между
собой связанных.
1. Общая топология

Часть Т., ориентированная на ак-сиоматич.
изучение непрерывности, наз. общей Т. Наряду с алгеброй общая Т. составляет
основу современного теоретико-множественного метода в математике.

Акеиоматически непрерывность можно
определить многими (вообще говоря, неравносильными) способами. Общепринята
аксиоматика, основывающаяся на понятии открытого множества. Топологич.
структурой, или топологией, на множестве X наз. такое семейство его подмножеств,
называемых открытыми множествами, что: 1) пустое множество 0 и всё
X
открыты;
2) объединение любого числа и пересечение конечного числа открытых
множеств открыто. Множество, на к-ром задана топологич. структура, наз.
топологическим пространством. В топологич. пространстве
X
можно
определить все осн. понятия элементарного анализа, связанные с непрерывностью.
Напр., окрестностью точки х е X наз. произвольное открытое
множество, содержащее эту точку; множество А с X наз. замкнутым,
если его дополнение X \ А открыто; замыканием множества А наз.
наименьшее
замкнутое множество, содержащее А; если это замыкание совпадает с X, то
Л наз. всюду плотным в Хит. д.

По определению, 0 и X являются одновременно
замкнутыми и открытыми множествами. Если в X нет других множеств, одновременно
замкнутых и открытых, то топологич. пространство X наз. связным.
Наглядно связное пространство состоит из одного "куска", а несвязное -
из нескольких.

Любое подмножество А топологич.
пространства X обладает естественной топологич. структурой, состоящей
из пересечений с А открытых множеств из X. Снабжённое этой структурой
А
наз.
подпространством пространства X. Каждое метрическое пространство
становится топологическим, если за его открытые множества принять множества,
содержащие вместе с произвольной точкой нек-рую её е-окрестность (шар радиуса
е с центром в этой точке). В частности, любое подмножество
n-мерного
евклидова пространства IRⁿ является топологич. пространством.
Теория таких пространств (под назв. "геометрич. Т.")
и теория метрич.
пространств включаются по традиции в общую Т.

Геометрич. Т. довольно чётко распадается
на две части: изучение подмножеств IRⁿ произвольной сложности,
подчинённых тем или иным ограничениям общего характера (примером является
т. н. теория континуумов, т. е. связных ограниченных замкнутых множеств),
и изучение способов, какими в IRⁿ могут быть вложены такие простые
топологические пространства, как сфера, шар и т. п. (вложения в IRⁿ,
напр., сфер могут быть очень сложно устроенными).

Открытым покрытием топологич. пространства
X
наз.
семейство его открытых множеств, объединением к-рого является всё X.
Топологич. пространство X наз. компактным (в другой терминологии
- бикомпактным), если любое его открытое покрытие содержит конечное
число элементов, также образующих покрытие. Классич. теорема Гейне-Бореля
утверждает, что любое ограниченное замкнутое подмножество IRⁿ
компактно. Оказывается, что все осн. теоремы элементарного анализа об ограниченных
замкнутых множествах (напр., теорема Вейерштрасса о том, что на таком множестве
непрерывная функция достигает своего наибольшего значения) справедливы
для любых компактных топологич.
пространств. Это определяет
фундаментальную роль, к-рую играют компактные пространства в современной
математике (особенно в связи с теоремами существования). Выделение
класса компактных топологических пространств явилось одним из крупнейших
достижений общей Т., имеющих общематематическое значение.

Открытое покрытие
наз. вписанным в покрытие,
если для любогосуществует а такое,
что Покрытие,
наз. локально конечным, ' если каждая точка
обладает окрестностью, пересекающейся только с конечным числом элементов
этого покрытия. Топологич. пространство наз. паракомпактным, если в любое
его открытое покрытие можно вписать локально конечное покрытие. Класс паракомпактных
пространств является примером классов топологич. пространств, получающихся
наложением т. н. условий типа компактности. Этот класс очень широк, в частности
он содержит все метризуемые топологич. пространства, т. е. пространства,
в к-рых можно ввести такую метрику,
что Т., порождённая в X,
совпадает
с Т., заданной в X.

Кратностью открытого покрытия наз.
наибольшее число k такое, что найдётся k его элементов, имеющих
непустое пересечение. Наименьшее число n, обладающее тем свойством,
что в любое конечное открытое покрытие топологич. пространства X можно
вписать открытое покрытие кратности
обозначается символоми наз. размерностью
Это название оправдано тем, что в элементарно-геометрич. ситуациях
совпадает с обычно понимаемой размерностью, напр.
Возможны и др. числовые функции топологич. пространства X, отличающиеся
от dim X, но в простейших случаях совпадающие с dim X. Их
изучение составляет предмет общей теории размерности - наиболее геометрически
ориентированной части общей Т. Только в рамках этой теории удаётся, напр.,
дать чёткое и достаточно общее определение интуитивного понятия геометрич.
фигуры и, в частности, понятия линии, поверхности и т. п.

Важные классы топологич. пространств
получаются наложением т. н. аксиом отделимости. Примером является т. н.
аксиома Хаусдорфа, или аксиома,
требующая, чтобы любые две различные точки обладали непересекающимися окрестностями.
Топологич. пространство, удовлетворяющее этой аксиоме, наз. хаусдорфовым,
или отделимым. Нек-рое время в математич. практике встречались почти исключительно
хаусдорфовы пространства (напр., любое метрич. пространство хаусдорфово).
Однако роль нехаусдорфовых топологич. пространств в анализе и геометрии
постоянно растёт.

Топологич. пространства, являющиеся
подпространствами хаусдорфовых (би) компактных пространств, наз.
вполне регулярными или тихоновскими. Их тоже можно охарактеризовать нек-рой
аксиомой отделимости, а именно: аксиомой, требующей, чтобы для любой точки
и любого не содержащего её замкнутого множества
существовала непрерывная функция
равная нулю в xo и единице на

Топологич. пространства, являющиеся
открытыми подпространствами хаусдорфовых компактных, наз. локально компактными
пространствами. Они характеризуются (в классе хаусдорфовых пространств)
тем,
что каждая их точка обладает окрестностью с компактным замыканием (пример:
евклидово пространство). Любое такое пространство дополняется одной
точкой до компактного (пример: присоединением одной точки из плоскости
получается сфера комплексного переменного, а из

Отображение
топологич. пространства
в топологич. пространство
наз. непрерывным отображением, если для любого открытого множества
множество открыто в X.
Непрерывное
отображение наз. гомеоморфизмом, если оно взаимно однозначно и обратное
отображение :
непрерывно. Такое отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие
между открытыми множествами топологич. пространств,
перестановочное с операциями объединения и пересечения множеств. Поэтому
все топологич. свойства (т. е. свойства, формулируемые в терминах открытых
множеств) этих пространств одни и те же, и с топологич. точки
зрения гомеоморфные топологич. пространства (т. е. пространства, для к-рых
существует хотя бы один гомеоморфизм)
следует считать одинаковыми (подобно тому как в евклидовой геометрии одинаковыми
считаются фигуры, к-рые можно совместить движением). Напр., гомеоморфны
("топологически одинаковы") окружность и граница квадрата, шестиугольника
и т. п. Вообще любые две простые (не имеющие двойных точек) замкнутые
линии гомеоморфны. Напротив, окружность не гомеоморфна прямой (ибо удаление
точки не нарушает связности окружности, но нарушает связность прямой; по
той же причине прямая не гомеоморфна плоскости, а окружность не гомеоморфна
"восьмёрке"). Окружность не гомеоморфна также и плоскости (выкиньте
не одну, а две точки).

Пусть
- произвольное семейство топологич. пространств. Рассмотрим
множество X всех семейств вида
где (прямое произведение
множеств). Для любого
формула определяет нек-рое
отображение (наз. проекцией).
Вообще говоря, в X можно ввести много топологич. структур, относительно
к-рых все отображения непрерывны.
Среди
этих структур существует наименьшая (т. е. содержащаяся в любой
такой структуре). Снабжённое этой топологич. структурой множество
наз. топологич. произведением топологич. пространств
и обозначается символом
(а в случае конечного числа сомножителей - символом

В явном виде открытые множества пространства
можно описать как объединения конечных пересечений всех множеств вида
где открыто в
Топологич. пространство
обладает следующим замечательным свойством универсальности, однозначно
(с точностью до гомеоморфизма) его характеризующим: для любого семейства
непрерывных отображений
существует единственное непрерывное отображение
для к-рого при всех.
Пространство является топологическим
произведением п экземпляров числовой прямой. Одной из важнейших
теорем общей Т. является утверждение о том, что топологич. произведение
компактных топологич. пространств компактно.

Если
- топологич. пространство, а-
произвольное множество и если задано отображение
пространства на множество
(напр., если является фактормножеством
по некоторому отношению эквивалентности, а р представляет собой
естеств. проекцию, сопоставляющую с каждым элементомего
класс эквивалентности), то можно ставить вопрос о введении в Y топологич.
структуры, относительно к-рой отображение р непрерывно. Наиболее
"богатую" (открытыми множествами) такую структуру получают, полагая открытыми
множествами в У все те множества,
для к-рых множество открыто
в X. Снабжённое этой топологич. структурой множество Y наз. факторпространством
топологич. пространства X (по отношению к р). Оно обладает
тем свойством, что произвольное отображение
тогда и только тогда непрерывно, когда непрерывно отображение
: Непрерывное отображение р
: наз. факторным, если
топологическое пространство Y является по отношению к р факторпространством
топологического пространства X. Непрерывное отображение
наз. открытым, если для любого открытого множества
множество открыто в У,
и замкнутым, если для любого замкнутого множества
множество замкнуто в
У. Как открытые, так и замкнутые непрерывные отображения,
для которых, являются
факторными.

Пусть X - топологич. пространство,
А
- его подпространство и
- непрерывное отображение. Предполагая топологич. пространства X и У непересекающимися,
введём в их объединении
топологич. структуру, считая открытыми множествами объединения открытых
множеств из Далее, введём
в пространстве наименьшее
отношение эквивалентности, в к-ром
для любой точки . Соответствующее
факторпространство обозначается символом,
и о нём говорят, что оно получено приклеиванием топологич. пространства
X
к
топологич. пространству
посредством непрерывного отображения
. Эта простая и наглядная операция оказывается очень важной, т. к. позволяет
получать из сравнительно простых топологич. пространств более сложные.
Если У состоит из одной точки, то пространство
обозначается символом
и о нём говорят, что оно получено из X стягиванием А в точку.
Напр., если X - диск, а А - его граничная окружность, то
гомеоморфно сфере.
2. Равномерная топология

Часть Т., изучающая аксиоматич. понятие
равномерной непрерывности, наз. равномерной Т. Известное из анализа определение
равномерной непрерывности числовых функций непосредственно переносится
на отображения любых метрич. пространств. Поэтому аксиоматику равномерной
непрерывности обычно получают, отталкиваясь от метрич. пространств. Подробно
исследованы два аксиоматич. подхода к равномерной непрерывности, основанных
соответственно на понятиях близости и окружения диагонали.

Подмножества А и В метрич. пространства
X наз. близкими (обозначение),
если Для любого существуют
точки, расстояние между
к-рыми. Принимая осн.
свойства этого отношения за аксиомы, приходят к следующему определению:
(отделимой) структурой близости на множестве X наз. такое
отношение на множестве
всех его подмножеств, что: 1)(символом
обозначается отрицание отношения
и

4) если
то существует такое множество
что Множество, в к-ром
задана структура близости, наз. пространством близости. Отображение пространства
близости X в пространство близости Y наз. близостно непрерывным,
если образы близких в X множеств близки в Y. Пространства близости
X и У наз. близостно гомеоморфными (или эквиморфными), если существует
взаимно однозначное близостно непрерывное отображение,
обратное к к-рому также является близостно непрерывным (такое близостно
непрерывное отображение наз. эквиморфизмо м). В равномерной Т. эквиморфные
пространства близости рассматриваются как одинаковые. Подобно метрич. пространствам,
любое пространство близости можно превратить в (хаусдорфово) топологич.
пространство, считая подмножество
открытым, если для любой точки
При этом близостно непрерывные отображения окажутся непрерывными отображениями.

Класс топологич. пространств, получающихся
описанным образом из пространств близости, совпадает с классом вполне регулярных
топологич. пространств. Для любого вполне регулярного пространства X все
структуры близости на X, порождающие его топологич. структуру, находятся
во взаимно однозначном соответствии ст. н. компактификациями (в другой
терминологии - бикомпактными расширениями) вХ - компактными хаусдорфовыми
топологич. пространствами, содержащими X в качестве всюду плотного
пространства. Структура близости,
соответствующая расширению вХ, характеризуется тем, что
тогда и только тогда, когда замыкания множеств А и В пересекаются
в bХ. В частности, на любом компактном хаусдорфовом топологич. пространстве
X
существует
единственная структура близости, порождающая его топологич. структуру.

Другой подход основан на том, что равномерную
непрерывность в метрич. пространстве X можно определить в терминах
отношения "точки х и у находятся на расстоянии, не большем
е". С общей точки зрения, отношение на X есть не что иное как произвольное
подмножество U прямого произведения
Отношение "тождество" является с этой точки зрения диагональю
т. е. множеством точек вида
Для любого отношения

отношенийU и V определена их композиция
существует такое, что
. Семейство отношений
наз. (отделимой) равномерной структурой на X (а отношения
U
наз.
окружениями диагонали), если: 1) пересечение любых двух окружений
диагонали содержит окружение диагонали; 2) каждое окружение диагонали
содержит, и пересечение
всех окружений диагонали совпадает с;
3) вместе с U окружением диагонали является и U^-1; 4)
для
любого окружения диагонали U существует такое окружение диагонали
W,
что Множество, наделённое
равномерной структурой, наз. равномерным пространством.
Отображение
равномерного пространства X в равномерное пространство Y наз. равномерно
непрерывным, если прообраз при отображении
любого окружения диагонали
содержит нек-рое окружение диагонали из
. Равномерные пространства X и У наз. равномерно гомеоморфными, если существует
взаимно однозначное равномерно непрерывное отображение,
обратное к к-рому также является равномерно непрерывным отображением.

В равномерной Т. такие равномерные
пространства считаются одинаковыми. Каждая равномерная структура на X
определяет
нек-рую структуру близости:
тогда и только тогда, когда
для любого окружения диагонали
При этом равномерно непрерывные отображения оказываются близостно непрерывными.
3. Алгебраическая топология

Пусть каждому топологич. пространству
X
(из
нек-рого класса) поставлен в соответствие нек-рый алгебраич.
объект
h(X)
(группа, кольцо и т. п.), а каждому непрерывному отображению
- нек-рый гомоморфизм h(f):

(или

являющийся тождественным гомоморфизмом,
когда f представляет собой

представляет собой функтор (соответственно
кофункто р). Большинство задач алгебраич. Т. так или иначе связано со следующей
задачей распрост ранения: для данного непрерывного отображения
подпространства в нек-рое
топологич. пространство
найти непрерывное отображение
совпадающее на А с f, т. е. такое, что
где - отображение вложения
(i(а)
= а для любой точки.
Если такое непрерывное отображение g существует, то для любого функтора
(ко-функтора) h существует такой гомоморфизм:
(гомоморфизм ф: что(соответственно
им будет гомоморфизм
Следовательно, несуществование гомоморфизма
(хотя бы для одного функтора h) влечёт несуществование отображения
д.
К
этому простому принципу могут быть фактически сведены почти все методы
алгебраич. Т. Напр., существует функтор
h, значение
к-рого на шаре является
тривиальной, а на ограничивающей шар сфере
- нетривиальной группой. Уже отсюда следует отсутствие т. н. ретракции
- непрерывного отображения,
неподвижного на, т. е.
такого, что композиция где
- отображение вложения, представляет собой тождественное отображение (если
р
существует,
то тождественное отображение группы
будет композицией отображений

и
что при тривиальной группе
невозможно). Однако этот, по существу, элементарно-геометрический и (при
n
=
2) наглядно очевидный факт (физически означающий возможность натянуть на
круглый обруч барабан) до сих пор не удалось доказать без привлечения алгебраико-топологич.
методов. Его непосредственным следствием является утверждение, что любое
непрерывное отображение
имеет хотя бы одну неподвижную точку, т. е. уравнение
имеет в Еⁿ хотя бы одно решение (если
для всех, то, приняв
за р(х) точку из S^n-1], коллинеарную точкам f(x)
и x и такую, что отрезок с концами f(x) и р(х) содержит
х,
получим
ретракцию). Эта теорема
о неподвижной точке была одной из первых теорем алгебраич. Т., а затем
явилась источником целой серии разнообразных теорем существования решений
уравнений.

Вообще говоря, установление несуществования
гомоморфизма ф тем легче, чем сложнее алгебраич. структура объектов h(X).
Поэтому
в алгебраич. Т. рассматриваются алгебраич. объекты чрезвычайно сложной
природы, и требования алгебраич. топологии существенно стимулировали
развитие абстрактной алгебры.

Топологич. пространство X наз.
клеточным пространством, а также клеточным разбиением (или СW-комплексом),
если в нём указана возрастающая последовательность подпространств
(наз. остовами клеточного пространства X), объединением к-рых является
всё X, причём выполнены следующие условия: 1) множество
тогда и только тогда открыто в X, когда для любого п множество
открыто в получается
из приклеиванием нек-рого
семейства n-мерных шаров по их граничным (n - 1)-мерным сферам
(посредством произвольного непрерывного отображения этих сфер
состоит из изолированных точек. Т. о., структура клеточного пространства
состоит, грубо говоря, в том, что оно представлено в виде объединения множеств,
гомеоморфных открытым шарам (эти множества наз. клетками). В
алгебраич. Т. изучаются почти исключительно клеточные пространства,
поскольку специфика задач алгебраич. Т. для них уже полностью проявляется.
Более того, фактически для алгебраич. Т. интересны нек-рые особо простые
клеточные пространства (типа noлиэдров; см. ниже), но сужение
класса клеточных пространств, как правило, существенно осложняет исследование
(поскольку многие полезные операции над клеточными пространствами выводят
из класса полиэдров).

Два непрерывных отображения
наз. гомотопными, если они могут быть непрерывно проде-формированы друг
в друга, т. е. если существует такое семейство непрерывных отображений
непрерывно зависящих от параметра
что (непрерывная зависимость
От t означает, что формулаопределяет
непрерывное отображение
это отображение, а также семейство
наз. гомотопией, связывающей f с g). Совокупность
всех непрерывных отображений
распадается на гомотопич. классы гомотопных между собой отображений. Множество
гомотопич. классов непрерывных отображений из X в Y обозначается
символом [X, У]. Изучение свойств отношения гомотопности и, в частности,
множеств [X, У] составляет предмет т. н. гомотопич. топологии (или теории
гомотопий). Для большинства интересных топологич. пространств множества
[X, У] конечны или счётны и могут быть в явном виде эффективно вычислены.
Топологич. пространства X и У наз. гомотопически эквивалентными, или имеющими
один и тот же гомотопич. тип, если существуют такие непрерывные отображения
что непрерывные отображения
и гомотопны соответствующим
тождественным отображениям. В гомотопич. Т. такие пространства следует
рассматривать как одинаковые (все их "гомотопич. инварианты" совпадают).

Оказывается, что во многих случаях
(в частности, для клеточных пространств) разрешимость задачи распространения
зависит только от гомотопич. класса непрерывного отображения
точнее, если для распространение
существует, то для любой гомотопии
существует распространение
такое, что Поэтому вместо f
можно
рассматривать его гомотопич. класс [f] и в соответствии с этим изучать
лишь гомотопически инвариантные функторы (кофункторы) h, т. е. такие,
что если отображения
f
и f гомотопны.
Это приводит к настолько тесному
переплетению алгебраич. и гомотопич. Т., что их можно рассматривать как
единую дисциплину.

Для любого топологич. пространства
У формулы

где
определяют нек-рый гомотопически инвариантный кофунктор h, о к-ром говорят,
что он представлен топологич. пространством У. Это - стандартный (и по
существу единственный) приём построения гомотопич. инвариантных
кофунк-торов. Чтобы множество h(X) оказалось, скажем, группой, нужно
У выбрать соответствующим образом, напр. потребовать, чтобы оно было топологич.
группой (вообще говоря, это не совсем так: необходимо выбрать в X нек-рую
точку х и рассматривать лишь непрерывные отображения
и гомотопии, переводящие х в единицу группы; это технич.
усложнение будет, однако, в дальнейшем игнорироваться). Более того,
достаточно, чтобы У было топологич,. группой "в гомотопич. смысле", т.
е. чтобы аксиомы ассоциативности и существования обратного элемента (утверждающие
фактически совпадение нек-рых отображений) выполнялись бы только
"с точностью до гомотопии". Такие топологич. пространства наз. Н-пространствами.
Т. о., каждое Н-пространство У задаёт гомотопически инвариантный кофунктор
значениями к-рого являются группы.

Аналогичным ("двойственным") образом,
каждое топологич. пространство У
задаёт по формулам нек-рый
функтор h. Чтобы h(X) было группой, нужно, чтобы У обладало
определённой алгебраич. структурой, в нек-ром точно определённом смысле
двойственной структуре Я-пространства. Топологич. пространства, наделённые
этой структурой, наз. ко -Н -пространствами. Примером ко - Н -пространства
является n-мерная сфера
(при ). Т. о.,
для любого топологич. пространства X формула
= = [Sⁿ, X] определяет нек-рую группу пХ,,
к-рая
наз. n-й гомотопич. группой пространства X. При п = 1 она совпадает
с фундаментальной группой. При n>l группа
коммутативна. Если, то
X
наз.
односвязным.

Клеточное пространство X наз. пространством
если = = 0 при i не
=n и пG; такое клеточное пространство существует
для любого n >= 1 и любой группы G (коммутативной при n > 1)
и
с точностью до гомотопич. эквивалентности определено однозначно. При n>l
(а также при п = 1, если группа G коммутативна)
пространство
оказывается H-пространством и потому представляет нек-рую группу
Эта группа наз. n-мерной группой когомологий топологич. пространства
X с группой коэффициентов G. Она является типичным представителем целого
ряда важных кофункторов, к числу к-рых принадлежит, напр., К-функтор,
представляемый т. н. бесконечномерным грассманианом ВО, группы ориентированных
кобордизмов и т. п.

Если G является кольцом, то прямая
сумма групп
является алгеброй над G. Более того, эта прямая сумма обладает очень сложной
алгебраич. структурой, в к-рую (при
где Zр) входит действие на
нек-рой некоммутативной алгебры
наз. алгеброй Стинрода. Сложность этой структуры позволяет, с одной стороны,
выработать эффективные (но совсем не простые) методы вычисления
групп, а с другой - установить
связи между группами
и другими гомотопически инвариантными функторами (напр., гомотопич. группами),
позволяющие часто в явном виде вычислить и эти функторы.

Исторически группам когомологий предшествовали
т. н. группы гомологии
, являющиеся гомотопич. группами
нек-рого клеточного пространства,
однозначно строящегося по клеточному пространству X и группе G. Группы
гомологии и когомологий в определённом смысле двойственны друг другу, и
их теории по существу равносильны. Однако алгебраич. структура, имеющаяся
в группах гомологии, менее привычна (напр., эти группы составляют не алгебру,
а т. н. коалгебру), и поэтому в вычислениях обычно пользуются группами
когомологий. Вместе с тем в нек-рых вопросах группы гомологии оказываются
более удобными, поэтому они также изучаются. Часть алгебраич. Т., занимающаяся
изучением (и применением) групп гомологии и когомологий, наз. теорией гомологий.

Перенесение результатов алгебраич.
Т. на пространства более общие, чем клеточные пространства, составляет
предмет т. н. общей алгебра ц ч. Т. В частности, общая теория гомологии
изучает группы гомологии и когомологий произвольных топологич. пространств
и их применения. Оказывается, что вне класса компактных клеточных пространств
различные подходы к построению этих групп приводят, вообще говоря, к различным
результатам, так что для неклеточных топологич. пространств возникает целый
ряд различных групп гомологии и когомологий. Осн. применения общая теория
гомологии находит в теории размерности и в теории т. н. законов двойственности
(описывающих взаимоотношения между топологич. свойствами двух дополнительных
подмножеств топологич. пространства), и её развитие было во многом стимулировано
нуждами этих теорий.
4. Кусочно-линейная топология

Подмножество
наз. конусом с вершиной а и основанием В, если каждая
его точка принадлежит единственному отрезку вида аb, где.
Подмножество наз. полиэдром,
если любая его точка обладает в X окрестностью, замыкание к-рой
является конусом с компактным основанием. Непрерывное отображение
полиэдров наз. кусочно-линейным, если оно линейно на лучах каждой ко-нич.
окрестности любой точки Взаимно
однозначное кусочно-линейное отображение, обратное к к-рому также кусочно-линейно,
наз. кусочно-линейным изоморфизмом.< Предметом кусочно-линейной Т.
является изучение полиэдров и их кусочно-линейных отображений. В кусочно-линейной
Т. полиэдры считаются одинаковыми, если они кусочно-линейно изоморфны.

Подмножество
тогда и только тогда является (компактным) полиэдром, когда оно представляет
собой объединение (конечного) семейства выпуклых многогранников.
Любой полиэдр может быть представлен в виде объединения симплексов,
пересекающихся
только по целым граням. Такое представление наз. триангуляцией
полиэдра.
Каждая триангуляция однозначно определена её симплициальной схемой, т.
е. множеством всех её вершин, в к-ром отмечены подмножества, являющиеся
множествами вершин симплексов. Поэтому вместо полиэдров можно рассматривать
лишь симплициальные схемы их триангуляции. Напр., по симплициальной схеме
можно вычислять группы гомологии и когомологий. Это делается следующим
образом:

а) симплекс, вершины к-рого
определённым образом упорядочены, наз. упорядоченным симплексом данной
триангуляции (или симплициальной схемы) К; формальные линейные комбинации
упорядоченных симплексов данной размерности n с коэффициентами из
данной группы G наз. n-мерными цепями; все они естественным образом составляют
группу, к-рая обозначается символом

б)выбросив
из упорядоченного n-мерного симплекса а вершину с номером i,,
получим упорядоченный (n - 1)-мерный симплекс, к-рый
обозначается символом
; цепь
наз. границей а; по линейности отображение
распространяется до гомоморфизма
:

в) цепи с, для к-рых
, наз. циклами, они составляют группуциклов;

г) цепи вида дc наз.
границами, они составляют группу границ

д)доказывается,
что
(граница является циклом); поэтому определена факторгруппа.

Оказывается,
что группа изоморфна группе
гомологии полиэдра X, триангуляцией
к-рого является К. Аналогичная конструкция, в к-рой исходят не из
цепей, а из ко-цепей (произвольных функций, определённых на множестве всех
упорядоченных симплексов и принимающих значения в G), даёт группы
когомоло-гий.

С этой конструкции, изложенной здесь
в несколько модифицированной форме, и началось по существу становление
алгебраич. Т. В первоначальной конструкции рассматривались т. н. ориентированные
симплексы (классы упорядоченных симплексов, отличающихся чётными перестановками
вершин). Эта конструкция развита и обобщена в самых разнообразных
направлениях. В частности, её алгебраич. аспекты дали начало т. н. гомологич.
алгебре.

Самым общим образом симплициаль-ную
схему можно определить как множество, в к-ром отмечены нек-рые конечные
подмножества ("симплексы"), причём требуется, чтобы любое подмножество
симплекса было снова симплексом. Такая симплициальная схема является симплициальной
схемой триангуляции нек-рого полиэдра тогда и только тогда, когда число
элементов произвольного отмеченного подмножества не превосходит нек-рого
фиксированного числа. Впрочем, понятие полиэдра можно обобщить (получив
т. н. "бесконечномерные полиэдры"), и тогда уже любая симплициальная
схема будет схемой триангуляции нек-рого полиэдра (называемого её геометрич.
реализацией).

Произвольному открытому покрытию
каждого топологич. пространства X можно сопоставить симплициальную
схему, вершинами к-рой являются элементы
покрытия и подмножество к-рой тогда и только тогда отмечено, когда элементы
покрытия, составляющие это подмножество, имеют непустое пересечение. Эта
симплициальная схема (и соответствующий полиэдр) наз. нервом покрытия.
Нервы всевозможных покрытий в определённом смысле аппроксимируют пространство
X
и,
исходя из их групп гомологии и когомологий, можно посредством соответствующего
предельного перехода получать группы гомологии и когомологий самого X.
Эта
идея лежит в основе почти всех конструкций общей теории гомологии. Аппроксимация
топологич. пространства нервами его открытых покрытий играет важную роль
и в общей Т.
5. Топология многообразий

Хаусдорфово паракомпактное топологич.
пространство наз. n-мерным топологич. многообразием, если
оно "локально евклидово", т. е. если каждая его точка обладает окрестностью
(наз. координатной окрестностью, или картой), гомеоморфной топологич. пространству.
В этой окрестности точки задаются n числами x,...,
хназ.
локальными координатами. В пересечении двух карт соответствующие локальные
координаты выражаются друг через друга посредством нек-рых функций, наз.
функциями перехода. Эти функции задают гомеоморфизм открытых множеств в,
наз. гомеоморфизмом перехода.

Условимся произвольный гомеоморфизм
между открытыми множествами из
называть t-гомеоморфизмом. Гомеоморфизм, являющийся кусочно-линейным изоморфизмом,
будем называть р-гомеоморфизмом, а если он выражается гладкими (дифференцируемыми
любое число раз) функциями, - s-гомеоморфизмом.

Пусть
или s. Топологич. многообразие наз.-многообразием,
если выбрано такое его покрытие картами, что гомеоморфизмы перехода для
любых его двух (пересекающихся) карт являются-гомеоморфизмами.
Такое покрытие задаёт-структуру
на топологич. многообразии X. Т. о., t-многообразие - это просто
любое топологич. многообразие, р-многообра-зия наз. кусочно-линейными
многообразиями. Каждое кусочно-линейное многообразие является полиэдром.
В< классе всех полиэдров n-мерные кусочно-линейные многообразия
характеризуются тем, что любая их точка обладает окрестностью, кусочно-линейно
изоморфной n-мерному кубу, s-многообразия наз. гладкими (или дифференцируемыми)
многообразиями,-отображением
а-многообразия наз. при
произвольное непрерывное отображение, при=
= р - произвольное кусочно-линейное отображение, при
- произвольное гладкое отображение, т. е. непрерывное отображение, записывающееся
в локальных координатах гладкими функциями. Взаимно однозначное а-отображение,
обратное к к-рому также является а-отображением, наз.-гомеоморфизмом
(при также диффеоморфизмом).-многообразия
X и У наз.-гомеоморфными
(при - диффеоморфными),
если существует хотя бы один а-гомеоморфизм.
Предметом теории а-многообразий является изучение а-многообразий и их-отображений;
при этом а-гомеоморфные-многообразия
считаются одинаковыми. Теория р-многообразий является частью кусочно-линейной
Т. Теория s-многооб-разий наз. также гладкой Т.

Осн. метод совр. теории многообразий
состоит в сведении её задач к проблемам алгебраич. Т. для нек-рых нужным
образом сконструированных топологич. пространств. Эта тесная связь теории
многообразий с алгебраич. Т. позволила, с одной стороны, решить много трудных
геометрич. проблем, а с другой - резко стимулировала развитие самой алгебраич.
Т.

Примерами гладких многообразий являются
n-мерные
поверхности в , не имеющие
особых точек. Оказывается (теорема вложения), что любое гладкое многообразие
диффеоморфно такой поверхности
Аналогичный результат верен и при а

Каждое р-многообраэие является
t-многообразием.
Оказывается, что на любом s-многообразии можно нек-рым естественным образом
ввести р-структу-ру (к-рая наз. обычно уайтхедовской триангуляцией).
Можно сказать, что любое-многообразие,
где является-многообразием,
гдеили.
Ответ на обратный вопрос: на каких а-многообразиях можно ввести-структуру
(такое а'-многообразие при
наз. сглаживаемым, а при
- триангулируемым), а если можно, то сколько ?- зависит от размерности
n.

Существует только два одномерных топологич.
многообразия: окружность S¹ (компактное многообразие) и прямая
линия (некомпактное многообразие).
Для любого на t-многообразиях
существует единственная структура.

Аналогично, на любом двумерном топологич.
многообразии (поверхности) существует единственная а-структура, и можно
легко описать все компактные связные поверхности (некомпактные связные
поверхности также могут быть описаны, но ответ получается более сложный).
Для того чтобы поверхности были гомеоморфны, достаточно, чтобы они были
гомотопически эквивалентны. При этом гомотопич. тип любой поверхности однозначно
характеризуется её группами гомологии. Существует два типа поверхностей:
ориентируемые и неориентируемые. К числу ориентируемых принадлежит сфера
. Пусть X и У - два связных я-мерных а-многообразия. Вырежем в X
и
У по шару (при п = 2 - диску) и склеим получившиеся граничные сферы
(при п = 2 - окружности). При соблюдении нек-рых само собой разумеющихся
предосторожностей в результате снова получим а-многообразие. Оно наз. связной
суммой-многообразий X
и У и обозначается Напр.,
имеет вид кренделя. Сфера
является нулём этого сложения, т. е.
для любого X. В частности,
Оказывается, что ориентируемая поверхность гомеоморф-на связной сумме вида
число слагаемых
наз. родом поверхности. Для сферы,
для тора р = 1 и т. д. Поверхность рода р можно наглядно
представлять себе как сферу, к к-рой приклеено р "ручек". Каждая
неориентируемая поверхность гомеоморфна связной сумме
нек-рого числа проективных плоскостей.Её
можно представлять себе как сферу, к к-рой приклеено несколько Мёбиуса
листов.

На каждом трёхмерном топологич. многообразии
при любом , s также существует
единственная-структура
и можно описать все гомотопич. типы трёхмерных топологич. многообразий
(однако групп гомологии для этого уже недостаточно). В то же время
до сих пор (1976) не описаны все (хотя бы компактные связные)
трёхмерные
топологич. многообразия данного гомотопич. типа. Это не сделано даже для
односвязных многообразий (все они гомотопически эквивалентны сфере S³).
Гипотеза Пуанкаре утверждает, что любое такое многообразие гомео-морфно
S³.

Для четырёхмерных (компактных и связных)
топологич. многообразий вопрос о существовании и единственности а-структур
(а = р, s) ещё не решён, a их гомотопич. тип описан только в предположении
односвязности. Справедлив ли для них аналог гипотезы Пуанкаре, неизвестно.

Замечательно, что для компактных и
связных топологич. многообразий размерности
ситуация оказывается совсем иной: все осн. задачи для них можно считать
в принципе решёнными (точнее, сведёнными к проблемам ал-гебраич. Т.). Любое
гладкое многообразие X вкладывается как гладкая (n-мерная)
поверхность в; и касательные
векторы к X составляют нек-рое новое гладкое многообразие ТХ, к-рое
наз. касательным расслоением гладкого многообразия X. Вообще, векторным
расслоением над топологич. пространством X наз. топологич. пространство
Е,
для
к-рого задано такое непрерывное отображение
, что для каждой точки прообраз
(слой) является векторным пространством и существует такое открытое
покрытие пространства
X, что для любого а прообраз
гомеоморфен произведению
, причём существует гомеоморфизм,
линейно отображающий каждый слой
на векторное пространство При
Е
= ТХ непрерывное отображение
сопоставляет с каждым касательным вектором точку его касания, так что слоем
будет пространство, касательное к X в точке х. Оказывается, что
любое векторное расслоение над компактным пространством X определяет
нек-рый элемент группы КО(X). Таким образом, в частности, для любого
гладкого, компактного и связного многообразия X в группе КО(Х)
определён
элемент, соответствующий касательному расслоению. Он наз. тангенциальным
инвариантом гладкого многообразия X. Имеется аналог этой конструкции для
любого а.

При а = р роль группы КО(Х)
играет
нек-рая другая группа, к-рая обозначается KPL(X), а при
роль этой группы играет группа, обозначаемая КТор(Х). Каждое а-многообразие
X определяет в соответствующей группе [КO(X), KPL(X) или
КТор(Х)]
нек-рый
элемент, называемый его-тангенциальным
инвариантом. Имеются естественные гомоморфизмы КО(Х) > KPL(X)
> KTop(X), и оказывается, что на n-мерном
компактном и связном-многообразии
X,
где
= = t, р, тогда и только тогда можно ввести-структуру
(, если
и , если),
когда его а'-тангенциальный инвариант лежит в образе соответствующей группы
[КРL(Х) при и
КО(Х)
при].
Число таких структур конечно и равно числу элементов нек-рого фактормножества
множества где
- нек-рое специальным образом сконструированное топологич. пространство
(при топологич. пространство
обозначается обычно символом PL/O, а при а = = р - символом
Top/PL).
Тем
самым вопрос о существовании и единственности а-структуры сводится к нек-рой
задаче теории гомотопий. Гомотопич. тип топологич. пространства
PL/O
довольно
сложен и до сих пор (1976) полностью не вычислен; однако известно,
что при
откуда следует, что любое кусочно-линейное многообразие размерности
сглаживаемо, а при единственным
образом. Напротив, гомотопич. тип топологич. пространства
оказался удивительно простым: это пространство гомотопически эквивалентно
Следовательно, число кусочно-линейных структур на топологич. многообразии
не превосходит числа элементов группы.
Такие структуры заведомо существуют, если
= = 0, но при кусочно-линейной
структуры может не существовать.

В частности, на сфере
существует единственная кусочно-линейная структура. Гладких структур на
сфере может быть много,
напр., на существует
28 различных гладких структур. На торе Тⁿ (топологич.
произведении n экземпляров окружности)
существует
при много различных кусочно-линейных
структур, к-рые все допускают гладкую структуру.
T. о., начиная
с размерности 5, существуют гомеоморфные, но не диффеоморфные гладкие многообразия;
сферы с таким свойством существуют, начиная с размерности 7.

Задачу описания (с точностью до а-гомеоморфизма)
всех
n-мерных связных компактных-многообразий
естественно решать в два этапа: искать условия гомотопич. эквивалентности
-многообразий и условия-гомеоморфности
гомотопически эквивалентных
-многообразий. Первая задача относится к гомотопич. Т. и в её рамках может
считаться полностью решённой. Вторая задача также по существу полностью
решена (во всяком случае для односвязных-многообразий).
Основой её решения является перенос в высшие размерности техники "разложения
на ручки". С помощью этой техники удаётся, напр., доказать для n-мерных
топологич. многообразий гипотезу Пуанкаре (связное компактное топологич.
многообразие, гомотопически эквивалентное сфере, гомеоморфной).

Наряду
-многообразиями можно рассматривать т. н.-многообразия
с краем; они характеризуются тем, что окрестности нек-рых их точек (составляющих
край)-гомеоморфны
полупространству пространства
IR". Край является (n - 1)-мерным а-многоооразием (вообще
говоря, несвязным). Два n-мерных компактных а-многообразия
X и У наз. (ко) бордантными, если существует такое (п + 1)-мерное
компактное а-многообразие с краем W, что его край является объединением
непересекающихся гладких многообразий, а-гомеоморфных X и У. Если
отображения вложения и
являются гомотопич. эквивалентностями, то гладкие многообразия наз.-кобордантными.
Методами разложения на ручки удаётся доказать, что при
односвязные компактные а-многообразия а-гомеоморфны, если они h-кобордантны.
Эта теорема о h-кобордизме доставляет сильнейший способ установления а-гомеоморфности
а-многообразий (в частности, гипотеза Пуанкаре является её следствием).
Аналогичный, но более сложный результат имеет место и для неодносвязных
а-многообразий.

Совокупность П^п классов
кобордантных компактных а-многообразий является по отношению к операции
связной суммы коммутативной группой. Нулём этой группы служит класс а-многообразий,
являющихся краями, т. е. кобор-дантных нулю. Оказывается, что эта группа
при а = 5 изоморфна гомотопич. группе пМО(п+1)
нек-рого
специально сконструированного топологич. пространства МО (п + 1),
наз. пространством Тома. Аналогичный результат имеет место и при ос = р,
t.
Поэтому методы алгебраич. Т. позволяют в принципе вычислить группу
Пn. В частности, оказывается, что группа Пn
является прямой суммой групп Zчисла n на слагаемые, отличные от чисел вида 2^m - 1.
Напр., П3 = 0 (так что каждое трёхмерное компактное
гладкое многообразие является краем). Напротив, П2
= = Zдругу и не кобордантные нулю; такой поверхностью, напр., является проективная
плоскость IRP² . М. М. Постников.
6. Основные этапы развития топологии

Отдельные результаты топологич. характера
были получены ещё в 18-19 вв. (теорема Эйлера о выпуклых многогранниках,
классификация поверхностей и теорема Жордана о том, что лежащая в плоскости
простая замкнутая линия разбивает плоскость на две части). В нач.
20 в. создаётся общее понятие пространства в Т. (метрич.- М. Фреше,
топологич.-
Ф. Хаусдорф), возникают первоначальные идеи теории размерности и
доказываются простейшие теоремы о непрерывных отображениях (А. Лебег,
Л.
Брауэр), вводятся полиэдры (А. Пуанкаре)
и определяются их
т. н. числа Бетти. Первая четв. 20 в. завершается расцветом общей Т. и
созданием московской топологич. школы; закладываются основы общей
теории размерности (П. С. Урысон); аксиоматике топологич. пространств
придаётся её современный вид (П. С. Александров); строится теория
компактных пространств (Александров, Урысон) и доказывается теорема
об их произведении (А. Н. Тихонов); впервые даются необходимые и
достаточные условия метризуемости пространства (Александров, Урысон);
вводится (Александров) понятие локально конечного покрытия [на основе
к-рого в 1944 Ж. Дьёдонне (Франция) определил паракомпактные пространства];
вводятся вполне регулярные пространства (Тихонов); определяется
понятие нерва и тем самым основывается общая теория гомологии (Александров).
Под влиянием Э. Нётер числа Бетти осознаются как ранги групп гомологии,
к-рые поэтому наз. также группами Бетти. Л. С. Понтрягин, основываясь
на своей теории характеров, доказывает законы двойственности для замкнутых
множеств.

Во 2-й четв. 20 в. продолжается развитие
общей Т. и теории гомологии: в развитие идей Тихонова А. Стоун (США)
и
Э. Чех вводят т. н. стоун-чеховское, или максимальное, (би)компактное
расширение вполне регулярного пространства; определяются группы гомологии
произвольных пространств (Чех), в группы когомологий (Дж. Александер,
А.
Н. Колмогоров) вводится умножение и строится кольцо когомологий.
В это время в алгебраич. Т. царят комбинаторные методы, основывающиеся
на рассмотрении симплициальных схем; поэтому алгебраич. Т. иногда и до
сих пор наз. комбинаторной Т. Вводятся пространства близости и равномерные
пространства. Начинает интенсивно развиваться теория гомото-пий (X. Хопф,
Понтрягин);
определяются гомотопич. группы (В. Гуревич, США)
и для их вычисления
применяются соображения гладкой Т. (Понтрягин). Формулируются аксиомы
групп гомологии и когомологий (Н. Стинрод и С. Эйленберг, США).
Возникает теория расслоений (X. Уитни, США; Понтрягин); вводятся
клеточные пространства (Дж. Уайтхед, Великобритания).

Во 2-й пол. 20 в. в СССР складывается
сов. школа общей Т. и теории гомологии: ведутся работы по теории размерности,
проблеме метризации, теории (би)компактных расширений, общей теории
непрерывных отображений (факторных, открытых, замкнутых), в частности
теории абсолютов; теории т. н. кардинальнозначных инвариантов (А. В. Архангельский,
Б. А. Пасынков, В. И. Пономарёв, Е. Г. Скляренко, Ю. М. Смирнов и др.).

Усилиями ряда учёных (Ж. П. Серр и
А. Картан во Франции, М. М. Постников в СССР, Уайтхед и др.) окончательно
складывается теория гомотопий. В это время создаются крупные центры алгебраич.
Т. в США, Великобритании и др. странах; возобновляется интерес к геометрич.
Т. Создаётся теория векторных расслоений и Х-функтора (М. Атья, Великобритания;
Ф. Хирцебрух, ФРГ), алгебраич. Т. получает широкие применения в
гладкой Т. (Р. Том, Франция) и алгебраич. геометрии (Хирцебрух);
развивается теория (ко)бордизмов (В. А. Рохлин, СССР; Том, С. П.
Новиков)
и
теория сглаживания и триангулируемости (Дж. Милнор, США).

Развитие Т. продолжается во всех направлениях,
а сфера её приложений непрерывно расширяется. А. А. Мальцев.

Лит.: Александров П. С., Введение
в общую теорию множеств и функций, М.- Л., 1948; Пархоменко А. С., Что
такое линия, М., 1954; Понтрягин Л. С., Основы комбинаторной топологии,
М.- Л., 1947; его же, Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973; Милнор Дж.,
Уоллес А., Дифференциальная топология. Начальный курс, пер. с англ., М.,
1972; Стинрод Н., Чинн У., Первые понятия топологии, пер. с англ., М.,
1967; Александров П. С., Комбинаторная топология, М.- Л., 1947; Александров
П. С., Пасынков Б. А., Введение в теорию размерности. Введение в теорию
топологических пространств и общую теорию размерности, М., 1973; Александров
П. С., Введение в гомологическую теорию размерности и общую комбинаторную
топологию, М., 1975; Архангельский А. В., Пономарёв В. И., Основы общей
топологии в задачах и упражнениях, М., 1974; Постников М. М., Введение
в теорию Морса, М., 1971; Бурбаки Н., Общая топология. Основные структуры,
пер. с франц., М., 1968; его же, Общая топология. Топологические группы.
Числа
и связанные с ними группы и пространства, пер. с франц., М., 1969; его
же, Общая топология. Использование вещественных чисел в общей топологии.
Функциональные пространства. Сводка результатов. Словарь, пер. с франц.,
М., 1975; Куратовский К., Топология, пер. с англ., т. 1-2, М., 1966-69;
Лен г С., Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. с англ.,
М., 1967; Спеньер Э., Алгебраическая топология, пер. с англ., М., 1971.
М.
М. Постников.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я