ТРАНСЦЕНДЕНТНОЕ ЧИСЛО

ТРАНСЦЕНДЕНТНОЕ ЧИСЛО число
(действительное или мнимое), не удовлетворяющее никакому алгебраическому
уравнению с целыми коэффициентами. Таким образом, Т. ч. противопоставляются
алгебраическим
числам. Существование Т. ч. впервые установил Ж.
Лиувилль (1844).
Отправной точкой для Лиувилля служила его теорема, согласно к-рой порядок
приближения рациональной дроби с данным знаменателем к данному иррациональному
алгебраич. числу не может быть произвольно высоким. Именно, если алгебраич.
число
а удовлетворяет неприводимому алгебраич. ур-нию степени п с целыми
коэффициентами, то для любого рационального числа - должно выполняться
неравенство (с зависит
только от а). Поэтому, если для заданного иррационального числа
а можно указать бесконечное множество рациональных приближений, не удовлетворяющих
приведённому неравенству ни при каких с и n (одних и тех же для всех приближений),
то а есть Т. ч. Пример такого числа даёт:

Другое доказательство существования
Т. ч. дал Г. Кантор (1874), заметив, что множество всех алгебраич.
чисел счётно (т. е. все алгебраич. числа могут быть перенумерованы; см.
Множеств
теория), тогда как множество всех действительных чисел несчётно. Отсюда
следовало, что множество Т. ч. несчётно, и далее, что Т. ч. составляют
основную массу среди множества всех чисел.

Важнейшая задача теории Т. ч.- это
выяснение того, являются ли Т. ч. значения аналитич. функций, обладающих
теми или иными арифметич. и аналитич. свойствами при алгебраич. значениях
аргумента. Задачи этого рода принадлежат к числу труднейших задач совр.
математики. В 1873. Ш. Эрмит доказал, что неперово число е =
1 + 1/1! + 1/2! +1/3! + ... является трансцендентным.

В 1882 нем. математик Ф. Линдеман получил
более общий результат: если а - алгебраич. число, то е^а -
Т.
ч. Результат Линдемана был значительно обобщён нем. математиком К. Зигелем
(1930), доказавшим, напр., трансцендентность значения широкого класса
цилиндрич. функций при алгебраич. значениях аргумента. В 1900 на математич.
конгрессе в Париже Д. Гильберт среди 23 нерешённых проблем математики указал
на следующую: является ли трансцендентным числом а^в, где а и
В - алгебраич. числа, причём В - иррациональное число, и, в частности,
является ли трансцендентным число
, е^п (проблема трансцендентности чисел вида
была впервые в частной форме поставлена Л. Эйлером, 1744).
Полное решение этой проблемы (в утвердительном смысле) удалось получить
лишь в 1934 А. О. Гельфонду. Из открытия Гельфонда, в частности,
следует, что все десятичные логарифмы натуральных чисел (т. е. "табличные
логарифмы") суть Т. ч. Методы теории Т. ч. прилагаются к ряду вопросов
решения уравнений в целых числах.

Лит.: Гельфонд А. О., Трансцендентные
и алгебраические числа, М., 1952.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я