ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ один
из важнейших классов элементарных функций.

Для определения Т. ф. обычно
рассматривают окружность единичного радиуса с двумя взаимно перпендикулярными
диаметрами А'А и В'В (рис. 1). От точки А по
окружности откладываются дуги произвольной длины, к-рые считаются положительными,
если откладываются в направлении от Л к В (против часовой стрелки),
и отрицательными , если они откладываются в направлении от А к В'
(по
часовой стрелке). Если С - конец дуги, имеющей длину ф, то проекция
ОР радиуса ОС на диаметр А'А называется косинусом дуги ф (ОР = соsф).
При этом под проекцией ОР понимается длина направленного отрезка ОР, взятая
со знаком плюс, если точка Р лежит на радиусе ОД, и со знаком минус,
если она лежит на радиусе О А'. Проекция OQ радиуса ОС на диаметр
В'В
(равная + OQ, если точка Q лежит на радиусе ОВ, и равная - OQ, если
она лежит на радиусе ОВ') называется синусом дуги Ф (OQ == sinф.).

Т. ф. cos ф и sinф не могут принимать
значений, по абсолютной величине превосходящих 1, то есть |соsф|<= 1,
|sinф|<= 1.

Иначе cosф и sinф могут быть определены
как прямоугольные декартовы координаты точки С, лежащей на дуге окружности
единичного радиуса, центр к-рой в начале координат, ось абсцисс направлена
по диаметру А'А, а ось ординат - по диаметру В'В.

Так как центральный угол в радианной
мере измеряется тем же числом, что и дуга (радиус окружности равен единице),
то cosф и sinф можно рассматривать как косинус и синус угла. Вообще под
аргументом Т. ф. принято понимать число, к-рое можно рассматривать геометрически
как длину дуги или радианную меру угла. Если аргумент Т. ф. рассматривают
как угол, то его значение может быть выражено и в градусной мере. Для острых
углов ф (0 < ф < п/2), и только для них, Т. ф. cosф и sinф можно
рассматривать как отношение катетов прямоугольного треугольника, прилежащего
углу или противолежащего углу, к гипотенузе. Дуга АВ окружности
называется 1-й её четвертью, соответственно дуги ВА' - 2-й, А'В'
- 3-й, В'А - 4-й четвертями. Для углов ф из 1-й четверти: cosф>0,
sinф>0, из 2-й четверти: cosф<0, sinф>О, из 3-й четверти: cosф<0,
sinф<О, из 4-й четверти: cosф>0, sinф<0. Кроме того, cos ф
- чётная функция: cos(-ф)=соsф, a sinф - нечётная функция: sin(-ф)
=
-sinф.

С помощью основных Т. ф. sinф и соsф
можно определить другие Т. ф.: тангенс tgф =sinф/cosф котангенс ctgф =cosф/sinф
секанс sec ф =1/cosф и косеканс cosec ф = 1/sinф При этом sin ф,
tg ф и secф определяются только для таких ф, для к-рых cosф не= 0;
a ctgф и cosecф для тех ф, для к-рых sinф не= 0; функция secф - чётная,
а функции cosecф, tgф и ctgф-нечётные. Эти функции также могут быть
представлены геометрически отрезками прямых (рис. l): tgф = AL,
ctgф
= BK, secф = OL, cosecф = OK (для острых углов Ф и
соответствующими отрезками для других углов). С этим геометрическим
представлением связано и происхождение названий Т. ф. Так, латинское tangens
означает касательную (tgф изображается отрезком AL касательной к
окружности), secans - секущую (secф изображается отрезком OL
секущей
к окружности). Название "синус" (лат. sinus - изгиб, пазуха)
представляет
собой перевод арабского "джайб", являющегося, по-видимому,
искажением
санскритского слова "джива" (буквально - тетива лука), к-рым индийские
математики обозначали синус. Названия "косинус", "котангенс",
"косеканс"
представляют собой сокращения термина complementi sinus (синус дополнения)
и ему подобных, выражающих тот факт, что cosф, ctgф и cosecф равны
соответственно синусу, тангенсу и секансу аргумента (дуги или угла),
дополнительного к ф (до п/2 или, в градусной мере, до 90°):

Подобно синусу и косинусу, остальные
Т. ф. для острых углов могут рассматриваться как отношения сторон прямоугольного
треугольника: тангенс и котангенс как отношения катетов (противолежащего
к прилежащему и наоборот), а секанс и косеканс как отношения гипотенузы
соответственно к прилежащему и противолежащему катетам.

Так как точка С, являющаяся концом
дуги ф, служит одновременно концом дуг ф + 2п, ф + 4п, ... (2п - длина
окружности), то все Т. ф. оказываются периодическими. При этом основным
периодом функций sinф, cosф, secф, cosecф является число 2п (угол в 360°),
а основным периодом tg ф и ctg ф - число п (угол в 180°). Графики
Т. ф. см. на рис. 2.

Значения Т. ф. одного и того же аргумента
связаны между собой рядом соотношений :

sin² ф + cos²
ф= 1,

tg² ф + l =sec²
ф, ctg² ф+1 = cosec² ф.

Для нек-рых значений аргумента значения
Т. ф. могут быть получены из геометрич. соображений (табл.).

Для больших значений аргумента можно
пользоваться т. н. формулами приведения, к-рые позволяют выразить Т. ф.
любого аргумента через

Т. ф. аргумента ф, удовлетворяющего
соотношению 0 <= ф <= п/2 или даже 0 <= ф <= п/4, что упрощает
составление таблиц Т. ф. и пользование ими, а также построение графиков.
Эти формулы имеют вид:

в первых трёх формулах п может
быть любым целым числом, причём верхний знак соответствует значению n
=
2k,
a нижний - значению n = 2k + 1; в последних -
n может
быть только нечётным числом, причём верхний знак берётся при в = 4к + 1,
а нижний при n = 4к - 1.

Рис. 2. Графики тригонометрических
функций: 1 - синуса; 2 - косинуса; 3 - тангенса; 4
-
котангенса; 5 - секанса; 6 - косеканса.

Важнейшими тригонометрич. формулами
являются формулы сложения, выражающие Т. ф. суммы или разности значений
аргумента через Т. ф. этих значений:

знаки в левой и правой частях всех
формул согласованы, т. е. верхнему (нижнему) знаку слева соответствует
верхний (нижний) знак справа. Из них, в частности, получаются формулы
для Т. ф. кратных аргументов, напр.:

Часто бывают полезны формулы, выражающие
степени sin и cos простого аргумента через sin и cos кратного, напр.:

Формулы для соs² ф и sin²
ф
можно использовать для нахождения значений Т. ф. половинного аргумента:

Знак перед корнем выбирается в зависимости
от величины ф/2.

Суммы или разности Т. ф. различных
аргументов могут быть преобразованы в произведения по следующим формулам:

в первой и последней формулах (4)
знаки
согласованы. Наоборот, произведения Т. ф. могут быть преобразованы в сумму
или разность по формулам:

Производные всех Т. ф. выражаются через
Т. ф.:

Интегралы от рациональных комбинаций
Т. ф. всегда являются элементарными функциями.

Все Т. ф. допускают разложение в степенные
ряды. При этом функции sin x и cos x представляются рядами,
сходящимися для всех значений x:

Эти ряды можно использовать для получения
приближённых выражений sin x и cos x при малых значениях
x:

Тригонометрич. система 1, cos x,
sin x, cos 2x, sin 2x, ..., cos nx, sin nx,...
образует на отрезке [-п, п] ортогональную систему функций, что даёт
возможность представления функций в виде тригонометрич. рядов (см. Фурье
ряд).

Для комплексных значений аргумента
значения Т. ф. могут быть определены посредством степенных рядов. Т. ф.
комплексного аргумента связаны с показательной функцией формулой
Эйлера: e^iz = cos z + i sin z.

Отсюда можно получить выражения для
sin x и cos x через показательные функции чисто мнимого аргумента
(к-рые также называют формулами Эйлера):

Эти формулы также могут быть использованы
для определения значений cos z и sin z для комплексного z. Для чисто
мнимых значений z = ix (x - действительное) получаем:

где ch x и sh x-гиперболические
косинус и синус (см. Гиперболические функции). Наоборот,

Синус и косинус комплексного аргумента
могут принимать действительные значения, превосходящие 1 по абсолютной
величине. Напр.:

Т. ф. комплексного аргумента являются
аналитич. функциями, причём sin z и cos z - целые функции, a
tg z, ctg z, sec z, cosec z - мероморфные функции. Полюсы tg z и
sec z находятся в точках z = п/2 + пn, a ctg z и cosec z в точках z = пn
(п = 0, ±1, ±2, ...). Аналитяч. функция w = sin z осуществляет
конформное отображение полуполосы - п < x < п, у > 0 плоскости
z на плоскость w без отрезка действительной оси между точками -
1 и + 1. При этом семейства лучей x = хи отрезков
у
= упереходят соответственно в семейства софокусных гипербол
и эллипсов. Вдвое более узкая полоса - п/2< x <п/2 преобразуется
в верхнюю полуплоскость.

Уравнение x = sin у определяет
у
как
многозначную функцию от х. Эта функция является обратной по отношению
к синусу и обозначается у = Arc sin x. Аналогично определяются
функции, обратные по отношению к косинусу, тангенсу, котангенсу, секансу
и косекансу: Arc cos x, Arc tg x, Arc ctg x, Arc sec
x, Arc cosec x. Все эти функции называются обратными тригонометрическими
функциями (в иностр. литературе иногда эти функции обозначаются sin^-1z,
соs^-1 z и т. д.).

Т. ф. возникли впервые в связи с исследованиями
в астрономии и геометрии. Соотношения отрезков в треугольнике и окружности,
являющиеся по существу Т. ф., встречаются уже в 3 в. до н. э. в работах
математиков Древней Греции - Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского и др.
Однако эти соотношения не являются у них самостоятельным объектом исследования,
так что Т. ф. как таковые ими не изучались. Т. ф. рассматривались первоначально
как отрезки и в такой форме применялись Аристархом (конец 4 - 2-я половина
3 вв. до н. э.), Гиппархом (2 в. до н. э.), Менелаем (1 в.
н. э.) и Птолемеем (2 в. н. э.) при решении сферич. треугольников.
Птолемей составил первую таблицу хорд для острых углов через 30' с точностью
до 10^-6. Это была первая таблица синусов. Как отношение функция
sin ф встречается уже у Ариаохаты (конец 5 в.). Функции tg
ф и ctg ф встречаются у аль-баттяни (2-я половина 9 - начало 10
вв.) и Абу-лъ-Вефа (10 в.), к-рый употребляет также
sec ф и cosec ф. Ариабхата знал уже формулу sin² ф + cos²
ф = 1, а также формулы (3), с помощью к-рых построил таблицы синусов
для углов через 3°45', исходя из известных значений Т. ф. для простейших
аргументов (п/3, п/6). Бхаскара (12 в.) дал способ построения
таблиц через 1° с помощью формул (2). Формулы (4) выводились
Региомонтаном
(15
в.) и Дж. Непером в связи с изобретением последним логарифмов
(1614). Регаомонтан дал таблицу значений синуса через 1'. Разложение
Т. ф. в степенные ряды получено И. Ньютоном (1669). В современную
форму теорию Т. ф. привёл Л. Эйлер (18 в.). Ему принадлежат
определение Т. ф. для действительного и комплексного аргументов, принятая
ныне символика, установление связи с показательной функцией, ортогональности
системы синусов и косинусов.

Лит.: Кочетков Е. С., Кочеткова
Е. С., Алгебра и элементарные функции, ч. 1 - 2, М., 1966; Шабат Б. В.,
Введение в комплексный анализ, М., 1969, с. 61 - 65.