УМНОЖЕНИЕ
операция
образования по двум данным объектам а и b, называемым сомножителями,
третьего объекта с, называемого произведением. У. обозначается знаком X
(ввёл англ. математик У. Оутред в 1631) или (ввёл нем. учёный Г. Лейбниц
в 1698); в буквенном обозначении эти знаки опускаются и вместо а X
b или а . b пишут ab. У. имеет различный
конкретный смысл и соответственно различные конкретные определения в зависимости
от конкретного вида сомножителей и произведения. У. целых положительных
чисел есть, по определению, действие, относящее числам а и b
третье
число с, равное сумме b слагаемых, каждое из к-рых равно
а,
так
что ab = a + а + ... ...+ а (b слагаемых). Число
а
наз. множимым,
b - множителем. У. рациональных
чисел дает число, абсолютная
величина к-рого равна произведению абсолютных величин сомножителей,
имеющее знак плюс (+), если оба сомножителя одинакового знака, и знак минус
(-), если они разного знака. У. иррациональных чисел определяется
при помощи У. их рациональных приближений. У. комплексных чисел, заданных
в форме a = а + bi и b = с + di, определяется равенством
ab = ас - bd + (ad + bc)i. При У. комплексных чисел, записанных
в тригонометрич. форме:
У. чисел однозначно и обладает
следующими свойствами: 1) ab = bа (коммутативность, переместительный
закон); 2) a(bc)= (ab)c (ассоциативность, сочетательный закон);
3) а(b + с) = аb + ас (дистрибутивность, распределительный
закон). При этом всегда а •0 = 0; а •1 = а. Указанные
свойства лежат в основе обычной техники У. многозначных чисел.
Дальнейшее обобщение понятия
У. связано с возможностью рассматривать числа как операторы в совокупности
векторов на плоскости. Напр., комплексному числу r(cosф + isin ф) соответствует
оператор растяжения всех векторов в r раз и поворота их на угол
ф вокруг начала координат. При этом У. комплексных чисел отвечает У. соответствующих
операторов, т. е. результатом У. будет оператор, получающийся последовательным
применением двух данных операторов. Такое определение У. операторов переносится
и на другие виды операторов, к-рые уже нельзя выразить при помощи чисел
(напр., линейные преобразования). Это приводит к операциям У. матриц, кватернионов,
рассматриваемых как операторы поворота и растяжения в трёхмерном пространстве,
ядер интегральных операторов и т. д. При таких обобщениях могут оказаться
невыполненными нек-рые из перечисленных выше свойств У., чаще всего - свойство
коммутативности (некоммутативная алгебра). Изучение общих свойств операции
У. входит в задачи общей алгебры, в частности теории групп и колец.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я