УНИКУРСАЛЬНАЯ КРИВАЯ
(от
уни...
и
лат. cursus - бег, путь) (матем.), плоская кривая, к-рая может быть задана
параметрич. ур-ниями x = ф(t), y=х(t), где ф(t)
и х(f) -
рациональные функции параметра t. Важнейшие теоремы об У. к.: если
алгебраич. кривая имеет макс. число двойных точек, допускаемое её порядком,
то она уникурсальна; обратная ей: всякая У. к. является алгебраич. кривой
с макс. числом двойных точек, допускаемым её порядком. В формулировке этих
теорем предполагается, что точки высшей кратности пересчитаны по определённым
правилам на двойные (напр., одна тройная точка эквивалентна трём двойным).
Макс. число двойных точек,
к-рое может иметь алгебраич. кривая n-го порядка, равно (п-1)(n-2)/2
= б. Если кривая п-го порядка имеет r двойных точек, то разность
6 - r, т. е. число двойных точек, недостающее до макс. числа, наз.
дефектом, или родом, этой кривой.У. к. может быть также поэтому определена
как алгебраич. кривая, род к-рой равен нулю. Очевидно, что прямая линия
и кривая 2-го порядка не могут иметь двойных точек, следовательно, они
всегда уникурсальны. Кривая 3-го порядка уникурсальна, если она имеет одну
двойную точку, кривая 4-го порядка уникурсальна, если она имеет три двойные
точки, и т. д.
На рис. изображена кривая
3-го порядка, наз. декартовым листом; она имеет одну двойную точку и, следовательно,
уникурсальна. В самом деле,
она может быть задана параметрич. ур-ниями:
где параметр t равен
тангенсу угла наклона радиус-вектора точки (х, у) к оси Ох. При
подсчёте двойных точек нельзя основываться на внеш. виде кривой, т. к.
двойные точки могут быть бесконечно удалёнными или мнимыми. Напр., кривая
4-го порядка - лемниската Бернул-ли, имеет одну лишь действительную двойную
точку, но она имеет ещё две двойные точки в мнимых круговых точ-.ках и,
следовательно, уникурсальна.
У. к. играют важную роль
в теории интегралов алгебраич. функций. Всякий интеграл вида
где R (х, у) есть
рациональная функция двух переменных, а у есть функция от х,
определяемая
ур-нием F(x, y)=0, задающим У. к., приводится к интегралу от рациональной
функции и выражается в элементарных функциях.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я