УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ дифференциальные уравнения с частными производными, а также
нек-рые родственные уравнения иных типов (интегральные, интегро-дифферен-циальные
и т. д.), к к-рым приводит ма-тематич. анализ физич. явлений. Для теории
У. м. ф. характерна постановка задач в таком виде, как это необходимо при
исследовании физич. явления. Круг У. м. ф. с расширением области применения
математич. анализа также неуклонно расширяется. При систематизации полученных
результатов появляется необходимость включить в теорию У. м. ф. уравнения
и задачи более общего вида, чем те, к-рые появляются при анализе конкретных
явлений; однако и для таких уравнений и задач характерно то, что их свойства
допускают более или менее наглядное физич. истолкование (см. Математическая
физика).



Классификация уравнений
математической физики. Значит. часть У. м. ф. составляют линейные уравнения
с частными производными 2-го порядка общего вида:

где все коэфф. а=
аи правая часть f представляют
собой заданные функции независимых переменных x, x..., х=2), а и - искомая функция тех же аргументов.
Свойства решений уравнения (1) существенно зависят от знаков корней (алгебраического
относительно X) уравнения

и поэтому классификация уравнений
(1) проводится в соответствии с этими знаками. Если все п корней
уравнения (2) имеют одинаковый знак, то говорят, что уравнение (1) принадлежит
к эллиптическому типу; если один из корней имеет знак, противоположный
знаку остальных п - 1 корней, - к гиперболическому типу; наконец,
если уравнение (2) имеет один нулевой корень, а прочие корни одинакового
знака, - к параболическому типу. Если коэффициенты ац постоянны,
то уравнение (1) принад-

лежит к определённому типу
независимо от значений аргументов; если же эти коэффициенты зависят от
x..., хто и корни уравнения (2) зависят от x..., ха потому уравнение (1) может принадлежать
к разным типам при различных значениях аргументов. В последнем случае (уравнение
смешанного типа) изучаемая область изменения аргументов состоит из зон,
в к-рых тип уравнения (1) сохраняется. Если корень уравнения (2), переходя
от положительных значений к отрицательным, обращается в нуль, то между
зонами эллиптичности и гиперболичности расположены зоны параболичности
(надо отметить, что и в ряде др. отношений параболич. уравнения занимают
промежуточное положение между эллиптическими и гиперболическими).

Для линейных уравнений с
частными производными выше 2-го порядка и для систем уравнений с несколькими
искомыми функциями классификация более сложна.



Основные примеры уравнений
математической физики. Волновое уравнение:

- простейшее уравнение
гиперболич. типа, а также соответствующие неоднородные уравнения (в правой
части к-рых добавлены известные функции) - телеграфное уравнение и
т. д. Уравнения и системы этого типа появляются при анализе различных колебаний
и волновых процессов. Свойства уравнений и систем гиперболич. типа во многом
аналогичны свойствам приведённых простейших таких уравнений.

Лапласа уравнение:

- простейшее уравнение
эллиптич. типа и соответствующее неоднородное уравнение - Пуассона уравнение.
Уравнения
и системы эллиптич. типа появляются обычно при анализе стационарных состояний.

Теплопроводности уравнение:

- простейший пример
уравнения параболич. типа. Уравнения и системы параболич. типа появляются
обычно при анализе процессов выравнивания.

Первым примером уравнений
смешанного типа явилось т. н. уравнение Трикоми:

Для этого уравнения полуплоскость
y>0(-оо < х < oo ) служит зоной эллиптичности, полуплоскость
у<0
- зоной гиперболичности, а прямая у = 0 - зоной параболичности.

Ряд задач матем. физики приводит
к интегральным уравнениям различных типов. Так, напр., интегральные
уравнения Вольтерра возникают в тех задачах физики, в к-рых существует
предпочтительное направление изменения независимого переменного (напр.,
времени, энергии и т. д.). В задаче о крутильных колебаниях возникает нек-рое
интегро-дифференциалъное
уравнение.



Постановка задач и методы
решения уравнений математической физики. На первом этапе развития теории
У. м. ф. мно-

го усилий было затрачено
на отыскание их общего решения. Уже Ж. Д'Аламбер (1747) получил
общее решение волнового уравнения. Основываясь на подстановках, применявшихся
Л. Эйлером (1770), П. Лаплас предложил (1773) "каскадный
метод", дающий общее решение нек-рых др. линейных однородных гиперболич.
уравнений 2-го порядка с двумя аргументами. Однако такое общее решение
удалось найти в весьма редких случаях; в отличие от обыкновенных дифференциальных
уравнений, для уравнений с частными производными не выделено ни одного
сколько-нибудь значит, класса уравнений, для к-рых общее решение может
быть получено в виде достаточно простой формулы. Кроме того, оказалось,
что при анализе физич. процессов У. м. ф. обычно появляются вместе с дополнительными
условиями, характер к-рых коренным образом влияет на направление исследования
решения (см. Краевые задачи, Коши задача).

Широкое распространение получили
методы приближённого решения краевых задач, в к-рых задача сводится к решению
системы алгебраических (обычно линейных) уравнений (см. Ритца и Галёркина
методы, Сеток метод). При этом за счёт увеличения числа неизвестных
в системе можно достичь любой степени точности приближения.

Лит.: Владимиров В.
С., Уравнения математической физики, 2 изд., М., 1971; Годунов С. К., Уравнения
математической физики, М., 1971; Соболев С. Л., Уравнения математической
физики, 4 изд., М., 1966; Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической
физики, 4 изд., М., 1972.