УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ

УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
относительный экстремум, экстремум функции f(xот
п + т переменных в предположении, что эти переменные подчинены ещё
т ур-ниям связи (условиям):

ф. . . , x=m
(*) (см. Экстремум). Точнее, функция f имеет У. э. в точке
М,
координаты к-рой удовлетворяют ур-ниям (*), если её значение в точке
М является наибольшим или наименьшим по сравнению со значениями
f
в точках нек-рой окрестности точки М, координаты к-рых удовлетворяют
ур-ниям (*). Геометрически в простейшем случае У. э. функции
f(x, у)
при условии ф(х, у) = 0 является наивысшей или наинизшей (по сравнению
с близлежащими точками) точкой линии, лежащей на поверхности z = f(x,
у) и проектирующейся на плоскость хОу в кривую ф(х, у) =
0. В точке У. э. линия ф(х, у) - 0 либо имеет особую точку,
либо касается соответствующей линии уровня [см. Уровня линии (поверхности)]
функции
f(x, у). При нек-рых дополнит. условиях на ур-ния связи (*) разыскание
У. э. функции f можно свести к разысканию обычного экстремума функции,
выразив xиз ур-ния (*) через
x,..., хподставив эти выражения
в функцию f. Др. метод решения - Лагранжа метод множителей.

Задачи на У. э. возникают
во мн. вопросах геометрии (напр., разыскание прямоугольника наименьшего
периметра, имеющего заданную площадь), механики, экономики и т. д.

Мн. задачи вариационного
исчисления приводят к разысканию экстремумов функционалов при условии,
что др. функционалы имеют заданное значение (см., напр., Изопериметрические
задачи) или же к задаче о разыскании экстремума функционала в классе
функций, удовлетворяющих нек-рым ур-ниям связи, и т. д. Решение таких задач
также проводится методом множителей Лагранжа. См. также Линейное программирование,
Математическое программирование и лит. при этих статьях.