ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ раздел
статистического
анализа многомерного, объединяющий методы оценки размерности множества
наблюдаемых переменных посредством исследования структуры ковариационных
или корреляционных матриц. Основное предположение Ф. а. заключается в том,
что корреляционные связи между большим числом наблюдаемых переменных определяются
существованием меньшего числа гипотетич. ненаблюдаемых переменных или факторов.
В терминах случайных величин - результатов наблюдений XХобщей моделью Ф. а. служит следующая линейная модель:

где случайные величины fсуть
общие факторы, случайные величины Ui суть факторы, специфические
для величин Xi и не коррелированные с fa eсуть случайные ошибки. Предполагается, что k < п задано, случайные
величины efи
Uи имеют

Постоянные
коэффициенты аназ. факторными нагрузками (нагрузка
i-й переменной

на j-й фактор). Значения
аbи c2 считаются неизвестными параметрами,
подлежащими оценке. В указанной форме модель Ф. а. отличается нек-рой неопределённостью,
т. к. п переменных выражаются здесь через п + k других переменных.
Однако уравнения (*) заключают в себе гипотезу о ковариационной матрице,
к-рую можно проверить. Напр., если факторы fнекоррелированы
и с- элементы матрицы ковариаций между величинами
Xi,
то из уравнений (*) следует выражение для счерез
факторные нагрузки и дисперсии ошибок:

Т. о., общая модель Ф. а.
равносильна гипотезе о ковариационной матрице, а именно о том, что ковариационная
матрица представляется в виде суммы матрицы А = {аи
диагональной матрицы А с

Процедура оценивания в Ф.
а. состоит из двух этапов: оценки факторной структуры - числа факторов,
необходимого для объяснения корреляционной связи между величинами Xи
факторной нагрузки, а затем оценки самих факторов по результатам наблюдения.
Принципиальные трудности при интерпретации набора факторов состоят в том,
что при k > 1 ни факторные нагрузки, ни сами факторы не определяются
однозначно, т. к. в уравнении (*) факторы fмогут быть
заменены любым ортогональным преобразованием. Это свойство модели используется
в целях преобразования (вращения) факторов, к-рое выбирается так, чтобы
наблюдаемые величины имели бы максимально возможные нагрузки на один фактор
и минимальные нагрузки на остальные факторы. Существуют различные практические
способы оценки факторных нагрузок, имеющие смысл в предположении, что Х..., Хподчиняются многомерному нормальному распределению
с ковариационной матрицей С = {cВыделяется максимального
правдоподобия метод, к-рый приводит к единственным оценкам для сно
для оценок адаёт уравнения, к-рым удовлетворяет бесчисленное
множество решений, одинаково хороших по статистическим свойствам.

Ф. а. возник и первоначально
разрабатывался в задачах психологии (1904). Область его приложения значительно
шире - Ф. а. находит применение при решении различных практич. задач в
медицине, экономике, химии и т. д. Однако многие результаты и методы Ф.
а. пока ещё не обоснованы, хотя практики ими широко пользуются. Математическое
строгое описание совр. Ф. а.- задача весьма трудная и до сих пор в полной
мере не решённая.

Лит.: Лоули Д., Максвелл
А., Факторный анализ как статистический метод, пер. с англ., М., 1967;
Xарман Г., Современный факторный анализ, пер. с англ., М., 1972. А.
В. Прохоров.