ФОРМА

ФОРМА (матем.), многочлен
от неск. переменных, все члены к-рого имеют одну и ту же степень (под степенью
одночлена x^аy^В...z^y понимают число
а + В+ ... + у). Теория Ф. находит применение в алгебраич. геометрии,
теории чисел, дифференциальной геометрии, механике и др. областях математики
и её приложений.

В зависимости от числа т
переменных
Ф. называют бинарными (при т = 2), тернарными (при
т = 3)
и т. д., в зависимости от степени п их членов - линейными (при п
- 1), квадратичными (при п = 2), кубичными (при п
= 3)
и т. д. Напр., ху + 2у² + z² является
тернарной квадратичной Ф. Если переменные можно разбить на группы так,
чтобы каждый член Ф. линейно зависел от переменных каждой группы, то Ф.
называется полилинейной. Примером полилинейной Ф. является определитель,
рассматриваемый как функция своих элементов (группы, на к-рые разбиваются
в этом случае элементы, представляют собой совокупности элементов, расположенные
в одинаковых строках или столбцах). Любая Ф. может быть получена из полилинейной
Ф. путём отождествления нек-рых переменных. Обратно - из каждой Ф. можно
путём нек-рого процесса, называемого процессом поляризации, получить полилинейную
Ф. Напр.,

Уравнение любой алгебраич.
кривой на плоскости может быть записано в однородных координатах в
виде f (x0, где f
- нек-рая тернарная Ф. Аналогично можно дать геометрич. истолкование
Ф. большего числа переменных. Геометрич. свойства кривых поверхностей и
т. д., не зависящие от выбора системы координат, выражаются при помощи
инвариантов
Ф. Теория инвариантов является одним из основных разделов алгебраич.
теории Ф., находящим применение не только в алгебраич. геометрии, но и
в ряде др. разделов математики и её приложений.

Наиболее важными для приложений
являются квадратичные формы. Напр., квадрат длины вектора выражается
в виде квадратичной Ф. от его координат. Если механич. система при движении
остаётся близкой к положению равновесия, то её кинетическая и потенциальная
энергия (если они не зависят явно от времени) выражаются, соответственно,
квадратичными Ф. вида:

Изучение колебаний таких
систем основано на теории квадратичных Ф., в частности на приведении этих
Ф. к сумме квадратов. Теория квадратичных Ф. тесно связана с теорией кривых
и поверхностей второго порядка (см. также Эрмитова форма).

В теории чисел весьма важным
является вопрос о представимости целых чисел как значений Ф. с целочисленными
коэффициентами при целочисленных значениях переменных. Напр., любое натуральное
число представимо в виде х² + у² + z²
+ t² (теорема Лагранжа). Изучение вопроса о представимости
целых чисел в виде ах² + 2bху + су², где
а,
b, с, х и у - целые числа, было проведено Ж. Лагранжем и К.
Гауссом. Этот вопрос тесно связан с теорией алгебраич. чисел. А.
Туэ доказал, что уравнения

вида f (х, у) = т, где
степень формы f больше двух, имеют конечное число целочисленных
решений (см. Диофантовы уравнения).

В дифференциальной геометрии
и
римановой геометрии используются дифференциальные Ф., т. е. многочлены
от дифференциалов переменных, каждый член к-рых имеет относительно дифференциалов
одну и ту же степень. Коэффициенты дифференциальных Ф. могут произвольно
зависеть от самих переменных. Рассматриваются и полилинейные дифференциальные
Ф. Примерами дифференциальных Ф. являются первая и вторая квадратичные
Ф. поверхностей теории. Важную роль в дифференциальной геометрии
играют целые рациональные функции от коэффициентов квадратичных Ф. и их
производных, не изменяющиеся при любых дифференцируемых невырождающихся
преобразованиях переменных (дифференциальные инварианты). Напр., полная,
или гауссова, кривизна поверхности является дифференциальным инвариантом
первой квадратичной Ф. Исследования по теории дифференциальных инвариантов
сыграли важную роль в возникновении тензорного исчисления. Теория дифференциальных
инвариантов находит большое применение в физике, позволяя давать инвариантные
(не зависящие от выбора системы координат) формулировки физич. законам.

Многие теоремы интегрального
исчисления (см. Грина формулы, Остроградского формула, Стокса формула)
могут
рассматриваться как теоремы о связи дифференциальных Ф. различной степени.
Обобщая эти соотношения, Э. Картон построил теорию внеш. дифференцирования
Ф., играющую важную роль в совр. математике.

Лит.: Веблен О., Инварианты
дифференциальных квадратичных форм, пер. с англ., М., 1948; Гуревич Г.
Б., Основы теории алгебраических инвариантов, М.- Л., 1948; Гантмахер Ф.
Р., Теория матриц, 3 изд., М., 1967; Боревич 3. И., Ш а-фаревич И. Р.,
Теория чисел, 2 изд., М., 1972.