ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВА
функции, сопоставляющие
каждому множеству из нек-рого класса множеств определённое число. Напр.,
длина отрезка является Ф. м., определённой на классе всех отрезков на прямой
(функцией отрезка).
Интеграл fф(x)dx при заданной интегрируемой
функции Ф(х) также является функцией отрезка - интервала интегрирования
[а, b]. Рассматривают также функции от областей на плоскости или в пространстве.
Напр., при заданном распределении плотностей масса, заключённая в данной
области О, является функцией этой области. Понятие функции области - более
гибкий аппарат для описания физич. явлений, чем понятие функции точки,
т. к. позволяет учитывать случаи, когда плотность физич. величин в отд.
точках бесконечна (точечные источники и т. д.). Кроме того, это понятие
более отвечает условиям физич. эксперимента (при к-ром наблюдается не функция
точки, а среднее от этой функции по нек-рой малой области).
Понятие Ф. м. получило развитие в связи
с построением теории интеграла Лебега, в к-рой приходится рассматривать
не только функции от областей, но и функции от произвольных измеримых множеств.
Одним из первых примеров такой Ф. м. является мера Лебега ц (Е) измеримого
множества Е (см. Мера множества). Эта Ф. м. вполне аддитивна,
т. е. мера суммы любой конечной или счётной совокупности непересекающихся
измеримых множеств есть сумма мер этих множеств. Наряду с лебеговской мерой
множеств рассматривают др. меры, являющиеся неотрицательными вполне аддитивными
Ф. м., определёнными на соответствующем классе множеств. Такие Ф. м. встречаются
в общей теории интеграла. Ф. м. f(E) называют абсолютно непрерывной
относительно нек-рой меры ц, если f(E) = 0 при ц(Е) = 0.
Так, интеграл Лебега nри заданной суммируемой
функции (р(х) по множеству М является вполне аддитивной абсолютно непрерывной
(относительно меры Лебега) функцией от М. Обратно, всякая вполне аддитивная
абсолютно непрерывная Ф. м. может быть представлена в качестве интеграла
Лебега от нек-рой суммируемой функции (р(х). Важным примером Ф. м. являются
распределения вероятностей.
Лит.: Колмогоров А. Н., Фомин С.
В., Элементы теории функций и функционального анализа, 4 изд., М., 1976;
X а л м о ш П., Теория меры, пер. с англ., М.. 1953.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я