ФУНКЦИЙ ТЕОРИЯ
раздел математики,
в
к-ром
изучаются общие свойства функций. Ф. т. распадается на две части:
теория функций действительного переменного и теория функций комплексного
переменного.
В "классическом" матем. анализе основным
объектом изучения являются непрерывные функции, заданные на (конечных
или бесконечных) интервалах и обладающие более или менее высокой степенью
гладкости. Однако уже со 2-й пол. 19 в. развитие математики всё настоятельнее
стало требовать систематич. изучения функций более общего типа. Основной
причиной этого является то, что предел последовательности непрерывных
функций может быть разрывен. Иными словами, класс непрерывных функций оказывается
незамкнутым относительно важнейшей операции анализа - предельного перехода.
В связи с этим функции, определяемые при помощи таких классич. средств,
как тригонометрич. ряды, часто оказываются разрывными или недифференцируемыми.
По той же причине могут быть разрывны производные непрерывных функций и
т. п. Наконец, дифференциальные уравнения, возникающие при рассмотрении
физич. задач, иногда не имеют решений в классе достаточно гладких функций,
но имеют их в более широких классах функций (если надлежащим образом обобщить
само понятие решения). Весьма важно, что именно эти обобщённые решения
(см. Обобщённые функции) и дают ответ на исходную физическую задачу.
Эти и аналогичные им обстоятельства стимулировали создание Ф. т. действительного
переменного.
Отдельные частные факты Ф. т. действительного
переменного были открыты ещё в 19 в. (существование рядов непрерывных функций
с разрывной суммой, примеры нигде не дифференцируемых непрерывных функций,
не интегрируемых функций и т. п.). Однако эти факты воспринимались обычно
как "исключения из правил" и не объединялись никакими общими схемами. Лишь
в нач. 20 в., когда в основу изучения функций были положены методы множеств
теории, стала развиваться систематически современная Ф. т. действительного
переменного.
Можно различить три направления в Ф. т.
действительного переменного.
1) Метрич. Ф. т., где свойства функций
изучаются при помощи меры (см. Мера множества) тех множеств, на
к-рых эти свойства имеют место. В метрич. Ф. т. с общих точек зрения изучаются
интегрирование и дифференцирование функций (см. Интеграл, Дифференциал,
Производная), различными способами обобщается понятие сходимости
функциональных
последовательностей, исследуется строение разрывных функций весьма широкого
типа и т. п. Важнейшим классом функций, изучаемым в метрич. Ф. т., являются
измеримые
функции.
2) Дескриптивная Ф. т., в к-рой основным
объектом изучения является операция предельного перехода (см. Бэра классификация).
3) Конструктивная Ф. т., изучающая вопросы
изображения произвольных функций при помощи надлежащих ана-литич. средств
(см. Приближение и интерполирование функций).
О Ф. т. комплексного переменного см. Аналитические
функции.
Лит.: Александров П. С., Введение
в общую теорию множеств и функций, М. -Л., 1948; Колмогорова. Н.,
Фомин С. В., Элементы теории функций и
функционального анализа, 4 изд., М., 1976.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я