ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ вматематике,
1) то же, что собственная функция. 2) X. ф. множества А (в
соврем, терминологии - индикатор А) - функция f(x), определённая
на нек-ром множестве Е, содержащем множество А, и принимающая
значение f(x)=1, если х принадлежит множеству А, и
значение f(x)=0, если х не принадлежит ему. 3) В теории вероятностей
X. ф. fx(t) случайной величины X определяется как математическое
ожидание величины е^itX. Это определение для случайных
величин, имеющих плотность вероятности рх(х), приводит к формуле

Напр., для случайной величины, имеющей
нормальное
распределение с параметрами а и о, X. ф. равна

Свойства X. ф.: каждой случайной величине
X
соответствует
определённая X. ф. fx(t); распределение вероятностей для X однозначно
определяется по fx(t); при сложении независимых случайных величин
соответствующие X. ф. перемножаются; при надлежащем определении понятия
"близости" случайным величинам с близкими распределениями соответствуют
X. ф., мало отличающиеся друг от друга, и, обратно, близким X. ф. соответствуют
случайные величины с близкими распределениями. Указанные свойства лежат
в основе применений X. ф., в частности к выводу предельных теорем теории
вероятностей. Впервые аппарат, по существу равнозначный X. ф., был использован
П. Лапласом (1812), но вся сила метода X. ф. была показана А. М.
Ляпуновым
(1901),
получившим с его помощью свою известную теорему.

Понятие X. ф. может быть обобщено на конечные
и бесконечные системы случайных величин (т. е. на случайные векторы и случайные
процессы).

Теория X. ф. имеет много общего с теорией
Фурье
интеграла.

Лит.: ГнеденкоБ. В., Курс теории
вероятностей, 5 изд., М., 1969; Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей,
2 изд., М., 1973.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я