ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ весьма важный
с точки зрения приложений в физике и технике класс трансцендентных функций,
являющихся
реше-

где v-произвольный параметр. К этому уравнению
сводятся мн. вопросы равновесия (упругого, теплового, электрического) и
колебаний тел цилиндрич.формы. Решение, имеющее вид:

[где Г (г)- гамма-функция; ряд справа
сходится при всех значениях х], называется Ц. ф.первого рода порядка
v. В частности, Ц. ф. нулевого порядка имеет вид:

Функции Л,(*) и уравнение (1) называют
также по имени Ф. Бесселя (Бесселя функции, Бесселя уравнение). Однако
эти функции и уравнение (1) были получены ещё Л. Эйлером при изучении
колебаний мембраны в 1766, т. е. почти за 50 лет до работ Бесселя; функция
нулевого порядка встречается ещё раньше в работе Д. Бернулли, посвящённой
колебанию тяжёлой цепи (опубл. в 1738), а функция порядка 1/3 в письме
Я. Бернулли к Г. Лейбницу (ПОЗ).

Если v не является целым числом, то общее
решение уравнения (1) имеет вид

из к-рых, в частности, вытекает, что Ц.
ф. K(x) и Y(x) имеют бесконечное множество действительных
нулей, расположенных так, что вдали от начала координат они как угодно
близки к нулям функций, соответственно,

Ц. ф. изучены очень детально и для комплексных
значений аргументов. Для вычислений существует большое число таблиц Ц.
Ф.

Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей
математики, 8 изд., т. 3, ч. 2, М., 196У; Н и-кифоровА. ср., Уваров В.
Б., Основы теории специальных функций, М., 1974; Ватсон Г. Н., Теория бесселевых
функций, пер. с англ., ч. 1 - 2, М., 1949; Б е и т м е н Г., Э р д е и
и А., Высшие трансцендентные функции, пер. с англ., 2 изд., т. 2, М., 1974.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я