ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ нахождение
приближённых решений алгебраических и трансцендентных уравнений. Ч. р.
у. сводится к выполнению арифметич. операций над коэффициентами уравнений
и значениями входящих в него функций и позволяет найти решения уравнений
с любой наперёд заданной точностью. К Ч. р. у. сводятся многие задачи математики
и её приложений. Хотя общие методы Ч. р. у. появились лишь в 17 в. (И.
Ньютон),
но
ещё Леонардо Пизанский (нач. 13 в.) вычислил корень уравнения
х³
+ 2x:² + 10x = 20 с ошибкой, меньшей чем ¹/-10.

В кон. 16 в. И. Бюрги (Швейцария) вычислил
корень уравнения 9 - 30x² + 27x⁴ - 9x⁶
+ x⁸ = 0, определяющего длину стороны правильного девятиугольника.
Приблизительно в то же время Ф. Виет дал метод вычисления корней
алгебраич. уравнений, сходный с Ньютона методом.

Численное решение алгебраич. уравнений
разбивается на следующие этапы: 1) выделение кратных корней, сводящее задачу
к решению уравнения с простыми корнями; 2) определение границ, между к-рыми
могут лежать корни уравнения; 3) разделение корней, т. е. указание промежутков,
каждый из к-рых содержит не более одного простого корня (см. Штурма
правило); 4) грубое определение приближённого значения корня, выполняемое
графически или к.-л. иным способом (напр., при помощи изучения перемен
знака левой части уравнения); 5) вычисление корня с заданной точностью.
Наиболее распространёнными методами для этого являются методы ложного положения,
метод Ньютона, Лобачевского метод, последовательных приближений метод,
разложение
в ряды и т. д.

При численном решении трансцендентных
уравнений ограничиваются этапами 4 и 5. О численном решении дифференциальных
уравнений см. в ст. Приближённое решение дифференциальных уравнений.

Лит.: Энциклопедия элементарной
математики, кн. 2 - Алгебра, M.- Л., 1951; К у р о ш А. Г., Курс высшей
алгебры, 11 изд., M., 1975.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я