ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ ЗАДАЧА

ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ ЗАДАЧА задача
о нахождении отличных от нуля решений дифференциального уравнения
-[p(x)
y']' +q(x)y = лямбда-y, (1)

удовлетворяющих граничным условиям
вида

A= 0, АB(т. н. собственных функций), а также о
нахождении значении параметра лямбда (собств. значений), при
к-рых существуют такие решения. При нек-рых условиях на коэффициенты р(х),
q(x) Ш.- Л. з. можно свести к рассмотрению аналогичной задачи для уравнения
вида
-у"+ q(x)y = лямбда-у.
(2)

Была впервые (1837-41) исследована
Ж. Лиувиллем и Ж. III. Ф. Штурмом.

Решение нек-рых видов уравнений математической
физики методом Фурье приводит к Ш.- Л. з. Напр., задача о колебаниях однородной
струны, закреплённой на концах, приводит к Ш. - Л. з. для уравнения -у"
= лямбда- у с граничными условиями у(0) = у(л)
= 0. В
этом случае существует бесконечная последовательность значений 1²,
2²,..., n², ..., к-рым соответствуют собств. функции
sinnx,
образующие
на отрезке [0, л] полную ортогональную систему функций (см. Ортогональная
система функций). Аналогично обстоит дело и в общем случае, возникающем,
напр., при изучении распространения тепла в неоднородном стержне и т. д.
И здесь, если функция q(x) в уравнении (2) непрерывна и действительна
на отрезке [а, b], a AВдействит. числа, существует возрастающая последовательность
действит. собств. значений Lк бесконечности, причём каждому из Lс точностью до постоянного множителя собств. функция фимеющая
n нулей на участке а < x < b. Функции ф
образуют на [а, b] полную ортогональную систему функций [для уравнения
(1) имеет место ортогональность с весом p(x)]. Полнота такой системы
функций была доказана В. А. Стендовым в 1896. Весьма общие теоремы
о разложении функций в ряды Фурье по системе фдоказал
Д. Гильберт
(1904) с помощью теории линейных интегральных уравнений.
При возрастании
n собств. значения и собств. функции Ш.- Л. з. для
уравнения (2) стремятся к собств. значениям и собств. функциям для уравнения
- у" = лямбда-y при тех же граничных условиях. Большинство встречающихся
в математике ортогональных систем функций, напр, многочлены Лежандра, многочлены
Эрмита, являются системами собств. функций нек-рых Т.- Л. з.

Иногда Ш.- Л. з. называют краевую задачу
для уравнения (1) при более общих краевых условиях:

где a,
Yтакого вида наиболее важными являются у(а) = у(b),y'(а) = y'(b)
(периодич.
условия) и у(а) = -у(b), y'(a)=-y'(b) (полупериодич. условия).
Mн. задачи математической физики (например, задача о распространении тепла
в бесконечном неоднородном стержне) приводит к Ш.- Л. з. на полуоси или
на всей оси. В 1-м случае рассматриваются решения уравнения (2), удовлетворяющие
условию A+B(0) = O; вместо
последовательности собств. функций здесь появляется совокупность собств.
функций U(x, L), зависящих от непрерывно изменяющегося параметра
L. Вместо разложения в ряды Фурье рассматриваются разложения вида

где p(L) - нек-рая неубывающая функция.
Эти разложения аналогичны Фурье интегралу . При этом

И

Аналогичные факты имеют место и для
Ш.- Л. з. на всей оси. Для нек-рых задач математич. физики важное значение
имеет обратная Ш.- Л. з., т. е. задача о восстановлении дифференциального
уравнения по функции p(L). Эта задача была поставлена в частном
случае В. А. Амбарцумяном, а в более общем случае швед, математиком
Г. Боргом и решена M. Г. Крейном, И. M. Гельфандом и Б. M. Левитаном.

Ш.- Л. з. возникает также в нек-рых
вопросах квантовой механики и вариац. исчисления.

Лит.: Курант Р., Гильберт Д.,
Методы математической физики, пер. с нем., 3 изд., т. 1, М.- Л., 1951;
СансонеД ж., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с итал., т.
1, M., 1953; Левитан Б. M., Разложение по собственным функциям дифференциальных
уравнений второго порядка, М.- Л., 1950.