ЭВОЛЮТА И ЭВОЛЬВЕНТА
(от лат.
evolutus - развёрнутый и evolvens, род. падеж evolventis - разворачивающий),
понятия дифференциальной геометрии: множество т центров кривизны
плоской кривой l наз. эволютой этой кривой; криваяl по отношению к своей
эволюте наз. эвольвентой (см. рис.). Эвольвента l кривой т может
быть получена как траектория конца В нити AB, к-рая наматывается
на линию т или разматывается с неё (этим построением эвольвенты
и объясняется др. её назв. "развёртка"). Указанное построение эвольвенты
делает ясным след, свойства Э. и э.: 1) касательная CD в произвольной точке
С эволюты является нормалью в соответствующей точке D эвольвенты
(следовательно, эвольвента есть ортогональная траектория касательных эволюты);
2) всякая ортогональная траектория касательных кривой т является
эвольвентой (поэтому у данной кривой бесконечно много эвольвент); 3) разность
радиусов кривизны AB и CD в точках B и D эвольвенты равна
длине дуги AC эволюты; 4) эволюта является огибающей семейства
нормалей эвольвенты.
Если линия l задана параметрич. уравнениями
x
= x(t), у = y(t), то параметрич. уравнения её эволюты будут следующие:
Эвольвенту пространственной кривой
можно определить как ортогональную траекторию касательных этой кривой.
Лит.:
Рашевский
П. К., Курс дифференциальной геометрии, 4 изд., M., 1956.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я