ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ

ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ интегралы
вида

(Э. и. первого рода, или бета-функция,
изученная Л. Эйлером в 1730-31, ранее рассматривалась И. Ньютоном
и
Дж. Валлисом) и

[Э. и. второго рода,или гамма-функция,
рассмотренная
Л. Эйлером в 1729-30 в форме, эквивалентной формуле (2); сама формула (2)
встречается у Эйлера в 1781]; название "Э. и." дано А.
Лежандром. Э.
и. позволяют обобщить на случай непрерывно изменяющихся аргументов биномиальные
коэффициенты

Сⁿи
факториал
п!, ибо, если а и b - натуральные числа,
то

Интегралы (1) и (2) абсолютно сходятся,
если а и b положительны, и перестают существовать, если а
и
b
отрицательны. Имеют место соотношения

последнее сводит бета-функцию к гамма-функции.
Существует ряд соотношений между Э. и. при различных значениях аргумента,
обобщающих соответствующие соотношения между биномиальными коэффициентами
Э. и. можно рассматривать и при комплексных значениях аргументов а и
b.
Э.
и.

встречаются во MH. вопросах теории
специальных
функций, к ним сводятся MH. определённые интегралы, не выражаемые элементарно.
Э. и. наз. также интеграл

выражающий т. н. гипергеометрическую
функцию.

Лит.: Фихтенгольц Г. M., Курс
дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 2, M., 1969; Артин
E., Введение в теорию гамма-функций, пер. с нем., М.- Л., 1934; Уиттекер
E. Т., В а т с о н Д. H., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд.,
ч. 2, M., 1963.