ЭКСТРЕМУМ

ЭКСТРЕМУМ (от лат. extremum - крайнее),
значение непрерывной функции f(x), являющееся или максимумом, или
минимумом. Точнее: непрерывная в точке Ха функция
f(x) имеет
в хмаксимум (минимум), если существует окрестность
(х+ б, xэтой точки, содержащаяся в области определения
f(x),
и
такая, что во всех точках этой окрестности выполняется неравенство
f(x>=
>= f(x) [соответственно,
f(x=
f(x)].
Если
при этом существует такая окрестность, что в ней
f(x
f(x) [или f(x< f(x)]
при х <>xто говорят о строгом, или собственном, максимуме (минимуме), в противном
случае - о нестрогом, или несобственном, максимуме (минимуме) (на рис.
1 в точке
А достигается строгий максимум, в точке В - нестрогий
минимум). Точки максимума и минимума наз. точками экстремум а. Для того
чтобы функция
f(x) имела Э. в нек-рой точке
хнеобходимо,
чтобы она была непрерывна в Хо
и чтобы либо f'(x(точка
А
на рис. 1), либо
f'(xне существовала (точка С
на рис. 1). Если при этом в нек-рой окрестности точки хо производная
f'(x)
слева
от хположительна, а справа отрицательна, то f(x)
имеет
в хмаксимум; если f'(x) слева от хотрицательна,
а справа положительна, то - минимум (первое достаточное условие Э.)- Если
же f'(x) не меняет знака при переходе через точку
хо, то
функция f(x) не имеет Э. в точке
х(точки
D,
Е и F на рис. 1). Если f(x)
в точке
химеет
п
последовательных производных, причём
f'(x= f''(x= = . . . = f^(n-1)
(x(n) (x<> 0, то при п нечётном
f(x)
не имеет Э. в точке ха
при п чётном имеет минимум, если f⁽ⁿ⁾(x> 0, и максимум, если
f⁽ⁿ⁾(x< 0.
Э. функции не следует смешивать с наибольшим и наименьшим значениями
функции.

Аналогично Э. функции одного переменного
определяется Э. функции нескольких переменных. Необходимым условием Э.
является в этом случае обращение в нуль или же несуществование частных
производных первого порядка. Напр., на рис. 2 частные производные равны
нулю в точке М, на рис. 3 в точке М они не существуют. Если
в нек-рой окрестности точки М(хсуществуют
и непрерывны первые и вторые частные производные функции f(x, у) и
в самой точке f'= f'= 0,

& = f"> 0,

то f(x, у) в точке
М имеет
Э. (максимум при f"< 0 и минимум при f"> 0); Э. в точке М не существует, если & < О (в этом
случае М является т. н. седловиной, или точкой минимакса, см. рис.
4).

Достаточные условия Э. функций многих переменных
сводятся к положительной (или отрицательной) определённости квадратичной
формы

где a, -
значение f"в
исследуемой точке. См. также Условный экстремум.

Термин "Э." употребляется также при изучении
наибольших и наименьших значений функционалов в вариационном исчислении.

Лит.: Ильин
В. А., П о з н я к Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1,
М., 1971.