ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ функции,
связанные с обращением эллиптических интегралов. Э. ф. применяются
во мн. разделах математики и механики< как при теоретич. исследованиях."
тек и для численных расчётов.

Подобно тому как трнгонометрич. функция
и
=
sinx
является обратной по отношению к интегралу

так обращение нормальных эллинтич. интег"
ралов 1-го рода

где г = sin ф, k - модуль эллпптич.
интеграла, порождает функции: Ф = am г - амплитуда г
(эта
функция не является Э. ф.) и со = sn г = sin (am z) - синус амплитуды.
Функции en z - косинус амплитуды и dn г - дельта амплитуды
определяются формулами

Функции sn z, en г,
dn
z
называют
Э. ф. Я к о б и. Они связаны соотношением sn²z
+ cn²
z = k²sn²z + dn²z
= 1.

-полный нормальный эллиптич. интеграл 1-го
рода и 4JC - основной период Э. ф. sn г. В отличие от однопериодич.
функции sin х, функция sn z - двоякопериодическая. Её второй
основной период равен 2гК', где

- дополнительный модуль. Периоды, нули
и полюсы Э. Ф. Якоби приведены в таблице, где тип - любые целые числа.

Э. ф. Веберштрасса сг(х)
может быть
определена как обратная нормальному вллиптич. интегралу Вейерштрасса 1-го
рода

где параметры ди
д- наз. инвариантами о (я:). При этом предполагается, что нули e1,
e2 и e3 многочлена 4t³ - gt² - gразличны
между собой (в противном случае интеграл (*) выражался бы через элементарные
функции). Э. ф. Вейерштрасса {?(x) связана с Э. ф. Якоби следующими соотношениями:

Любая мероморфная двоякопериодическая функция
f(i)
с
периодами шf(z
+
mшп = 0, ± 1, ±2, ...
и

является Э. ф. Для построения Э. ф., а
также численных расчётов применяют сигма-функции и тэта-функции.

Изучению Э. ф. предшествовало накопление
знаний об эллиптич. интегралах, система-тич. изложение теории к-рых дал
А. Лежандр. Основоположниками теории Э. ф. являются Н.
Абель
(1827)
и К. Якоби (1829). Последний дал развёрнутое изложение теории Э.
ф., назв. его именем. В 1847 Ж. Лиувиллъ опубл. изложение основ
общей теории Э. ф., рассматриваемых как мероморфные двоякопериодические
функции. Представление Э. ф. через -функцию, а также ?-, а-функции дано
К. Вейерштрассом в 40-х гг. 19 в. (две последние не являются Э.
ф.).

Лит.: Маркушевич А. И., Теория аналитических
функций, 2 изд., т. 2, М., 1968; ГурвицА., Курант Р., Теория функций, пер.
с нем., М., 1968; У и т т ек е р Э. Т., В а т с о н Д ж. Н., Курс современного
анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963; Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие
трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе
и Матье, пер. с англ., М., 1967.
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД, один
из двух видов параболоидов.