ЭРЛАНГЕНСКАЯ ПРОГРАММА

ЭРЛАНГЕНСКАЯ ПРОГРАММА единая
точка зрения на различные геометрии (напр., евклидову, аффинную, проективную),
сформулированная впервые Ф. Клейном на лекции, прочитанной в 1872
в ун-те г. Эрланген (Германия) и напечатанной в том же году под назв. "Сравнительное
обозрение новейших геометрических исследований".

Сущность Э. п. состоит в следующем.
Как известно, евклидова геометрия рассматривает те свойства фигур, которые
не меняются при движениях; равные фигуры определяются как фигуры, к-рые
можно перевести одну в другую движением. Но вместо движений можно выбрать
к.-н. иную совокупность геометрия. преобразований и объявить "равными"
фигуры, получающиеся одна из другой с помощью преобразований этой совокупности;
при этом придём к иной "геометрии", изучающей свойства фигур, не меняющиеся
при рассматриваемых преобразованиях. Введённое "равенство" должно удовлетворять
следующим трём естественным условиям: 1) каждая фигура F "равна" сама себе,
2) если фигура F "равна" фигуре F', то и F'
"равна" F, 3)
если фигура F "равна" F', a F' "равна" F", то и F "равна" F". Соответственно
этому приходится накладывать на совокупность преобразований следующие три
требования: 1) в совокупность должно входить тождественное преобразование,
оставляющее всякую фигуру на месте, 2) наряду с каждым преобразованием
П, переводящим фигуру F в F', в совокупность должно входить "обратное"
преобразование П^-1, переводящее F' в F, 3) вместе с двумя преобразованиями
Пв F", в совокупность должно входить произведение Пэтих преобразований, переводящее F в F" (Пв том, что сначала производится П1), 2) и 3) означают, что рассматриваемая совокупность является группой
преобразований (см. Непрерывная группа). Теория, к-рая изучает свойства
фигур, сохраняющиеся при всех преобразованиях данной группы, наз. геометрией
этой группы.

Выбирая по-разному группу преобразований,
получим разные геометрии. Так, принимая за основу группу движений, мы придём
к обычной (евклидовой) геометрии; заменяя движения
аффинными преобразовав
ниями или проективными преобразования' ми, придём к аффинной,
соответственно, проективной геометрии. Основываясь на идеях А. Кэли,
Клейн
показал, что принятие за основу группы проективных преобразований, переводящих
в себя нек-рый круг (или произвольное конич. сечение), приводит к неевклидовой
геометрии Лобачевского (см. Лобачевского геометрия).
Клейн ввёл
в рассмотрение довольно широкий круг др. геометрий, определяемых подобным
же образом.

Э. п. не охватывает нек-рых важных
разделов геометрии, напр, риманову геометрию. Однако Э. п. имела
для дальнейшего развития геометрии существенное стимулирующее значение.
Важные работы, ставящие своей целью объединить теоретико-групповой и дифференциально-геометрич.
подход к геометрии, принадлежат Я. Схоутену и Э. Картину.

Лит.: Клейн Ф., Сравнительное
обозрение новейших геометрических исследований ("Эрлангенская программа"),
в кн.а Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии
Лобачевского и развитию ее идей, М., 1956; его же, Элементарная математика
с точки зрения высшей, пер. с нем., 2 изд., т. 2, М. -Л., 1934; его же,
Высшая геометрия, пер. с нем., М.-Л., 1939; Александров П. С., Что такое
неэвклидова геометрия, М., 1950; Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 5 изд.,
М., 1971.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я