ЯКОБИАН

ЯКОБИАН функциональный определитель
|an с элементами a
= дyгде y
(xп,-
функции,
имеющие непрерывные частные производные в нек-рой области Д; обозначение:

Введён К.Якобы (1833, 1841). Если,
напр., п = 2, то система функций yxf(1),
задаёт отображение области Д, лежащей на плоскости xхна
часть плоскости y1, y2. Роль Я. для этого отображения во многом аналогична
роли производной для функции одной переменной. Напр., абсолютное значение
Я. в нек-рой точке М равно коэфф. искажения площадей в этой точке
(т. е. пределу отношения площади образа окрестности точки М к площади самой
окрестности, когда размеры окрестности стремятся к нулю). Я. в точке М
положителен,
если отображение (1) не меняет ориентации в окрестности точки М, н
отрицателен в противоположном случае. Если Я. не обращается в нуль в области
& и ф (y1, у2) -
функция,

заданная в области &1 (образе 7),
то

(формула замены переменных в двойном
интеграле). Аналогичная формула имеет место для кратных интегралов.
Если
Я. отображения (1) не обращается в нуль в области Д, то существует обратное
отображение

xyx= Фпричём

(аналог формулы дифференцирования обратной
функции). Это утверждение находит многочисленные применения в теории неявных
функций. Для возможности явного выражения в окрестности точки М
(x(O),
..., x(0), y(0), ..., y(0))
функций yунеявно заданных уравнениями

Fy, . . . , у= 0, (2) 1 <= k<= m, достаточно, чтобы координаты
точки М удовлетворяли уравнениям (2), функции Fнепрерывные частные производные и Я.

был отличен от нуля в точке
М.

Лит.: Кудрявцев Л. Д., Математическпй
анализ, 2 изд., т. 2, М., 1973; И л ыи н В. А., П о з н я к Э. Г., Основы
математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971.